Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет

Факультет предпринимательства и финансов

Кафедра финансов и банковского дела

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Дисциплина «Математика»

Выполнил студент Орлов Николай Геннадиевич Курс 1 Группа Фс-6 Зачетная книжка N 024 Проверил Преподаватель Смирнова Наталья Владимировна

Вологда

2007 г.

Вариант № 4. Задача 1

В книжной лотерее разыгрывается n книг. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.

Исходные данные: n = 6, N = 50.

Решение:

Обозначим событие, когда первый подошедший извлекает выигрышный билет через A.

Тогда по классическому определению вероятностей:

– искомая вероятность.

Ответ:

Задача 2

В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что её любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.

Исходные данные: r = 8, a = 6.

Решение:

По геометрическому определению вероятностей искомая вероятность P(A) будет равна отношению площади квадрата к площади круга (поскольку квадрат целиком расположен в круге).

Найдем площади фигур:

Площадь круга: ед.²;

Площадь квадрата ед.²

Тогда искомая вероятность указанного события будет равна:

Ответ:

Задача 3

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны p₁ и p₂. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятности того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

Исходные данные: p₁ = 0.6, p₂ = 0.8.

Решение:

Найдем вероятности и того, что соответствующие датчики не сработают:

Рассмотрим два противоположных (несовместных) события:

- при пожаре сработает хотя бы один датчик;

- при пожаре не сработает ни один из датчиков.

Поскольку события и являются противоположными, поэтому: .

Поскольку события и являются независимыми, то по теореме умножения независимых событий имеем: .

Тогда искомая вероятность будет равна:

.

Рассмотрим событие, когда при пожаре сработает ровно один датчик. Обозначим его B. Поскольку оба датчика работают независимо друг от друга, то их одновременная работа запишется следующим образом: . Откуда получим: .

Очевидно, что событие произойдет тогда, когда сработают оба датчика, событие мы уже рассматривали. Поэтому P( A ) + P( ) = = 1.

Тогда искомая вероятность P( B ) = P( A ) – = 0.92 – 0.48 = 0.44

Проверка:

Ответ: ,