4. Определение параметров эмпирической формулы (регрессионный анализ)
Одной
из широко распространенных задач
обработки данных является представление
их совокупности некоторой функцией
у(х).
Задача регрессии заключается в получении
таких параметров этой функции, чтобы
функция приближала облако исходных
точек с наименьшей среднеквадратичной
погрешностью. Чаще всего используется
линейная регрессия, при которой функция
у(х)
имеет вид
и описывает отрезок прямой. К линейной
регрессии можно свести многие виды
нелинейной регрессии при двухпараметрических
зависимостях у(х).
Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу.
В
общем виде эта задача ставится следующим
образом: пусть данная система значений
приближённо
описывается формулой вида
(4)
где
известная
функция и
неизвестные
постоянные, число которых m
обычно меньше числа точек
,
т.е. m
< n.
Требуется определить эти постоянные.
Если
значение (
)
точно связаны зависимостью (4), то
параметры
могут
быть найдены из системы уравнений
(5)
Однако
на практике значения (
)
содержат неизбежные ошибки, а число
уравнений системы (5) значительно больше
числа неизвестных. Поэтому система (5),
как правило, является несовместной.
Приходится отыскивать наилучшие значения
,
приближённо удовлетворяющие системе
(5), т.е. такие, что невязки
(уклонения)
являются возможно малыми по абсолютной величине.
Геометрически задача сводится к проведению кривой вида (4), наиболее тесно примыкающей к данной системе точек.
Наиболее распространёнными являются эмпирические формулы, линейно зависящие от параметров, т.е. формулы вида
В этом случае система (5) линейная и исследование её сравнительно просто. При нелинейной зависимости в (4) от параметров система (5) также нелинейная и нахождение точных или приближённых решений её представляет трудную задачу; обычно такую систему приближённо заменяют линейной.
Рассмотрим три наиболее употребительных метода определения параметров эмпирической формулы: метод выбранных точек; метод средних и метод наименьших квадратов.
Метод выбранных точек
Пусть
для системы опытных данных
построена эмпирическая формула
(6)
содержащая m (m<n) свободных параметров , где известная функция.
На
координатной плоскости Oxy
с возможной аккуратностью проводим
плавную кривую Г,
наиболее близко примыкающую к точкам
.
На кривой Г
выбираем систему m
(по числу параметров) точек
,
не обязательно совпадающих с точками
.
При этом желательно, чтобы выбранные
точки
были по возможности равномерно
распределены по всей рабочей части
кривой Г
и
возможно дальше отстояли друг от друга,
и в то же время не лежали бы слишком
близко к мало надёжным концевым точкам
и
.
Для удобства обычно берут абсциссы
этих точек совпадающими с крупными
делениями оси Ox координатной сетки.
После этого со всей тщательностью
замеряют координаты
.
Тогда параметры
,
в общем случае, могут быть определены
из системы m уравнений
Для
случая квадратичной зависимости
коэффициенты
a, b и c определяются из системы трёх
уравнений
Заметим, что метод выбранных точек содержит геометрические построения, допускающие известный произвол, и поэтому является грубым. К нему следует прибегать в тех случаях, когда точность исходных данных относительно невелика. Для увеличения точности метода рекомендуется пользоваться сеткой с мелкими делениями. Достоинство метода – простота применения и наглядность.