2. Приближенное интегрирование функций
Если
функция
непрерывна на [a, b] и известна ее
первообразная
,
то определенный интеграл от этой функции
в пределах от а до b может быть вычислен
по формуле Ньютона-Лейбница:
где
.
Однако во многих случаях первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной. Вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция часто задается таблично, и тогда понятие первообразной теряет смысл. Аналогичные вопросы возникают и при вычислении кратных интегралов. Поэтому большое значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы интегрирования.
Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы вида
где
-
выбранные узлы интерполяции,
- коэффициенты, зависящие только от
выбора узлов,
но
не от вида функции
-
остаточный член, или погрешность
квадратурной формулы. При отбрасывании
остаточного члена R
появляется
погрешность усечения. В
расчете отрезок интегрирования
разбивается на n
равных
частей системой точек
(i=0,
1, …, n),
,
,
.
Вычисляется подынтегральная функция в полученных узлах
(i=0,
1, …, n).
Квадратурные формулы для равностоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса. Формулы Ньютона-Котеса различаются степенями использованных интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, промежуток интегрирования обычно разбивают на отдельные участки, применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты (что дает так называемые составные формулы). Наиболее простые из формул такого типа приведены ниже.
Формула трапеций (рис. 1):
,
где
(i=0,
1,
…,
n).
Рис.1.
Остаточный член имеет вид
Формула трапеций дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, тогда f''(x)=0. Блок-схема алгоритма метода трапеций приведена на рис. 2.
Рис. 2.
Формула Симпсона (формула парабол) (рис. 3):
где
.
Рис. 3.
Остаточный член имеет вид
.
Формула
Симпсона является точной для многочленов
до третьей степени включительно, так
как в этом случае
Заметим,
что в формуле Симпсона число узлов
обязательно нечетное, т.к. n
четное,
.
Блок-схема алгоритма метода Симпсона приведена на рис. 4.
Формула Ньютона (правило трех восьмых):
где
Остаточный член имеет вид
Заметим,
что в формуле Ньютона число узлов
обязательно равно
,
т.е.
.
Рис. 4.
Если
функция
задана
таблично, а ее производные найти
затруднительно, то в предположении
отсутствия быстро колеблющихся
составляющих можно применять приближенные
формулы для погрешностей, выраженные
через конечные разности:
где
под
подразумевается арифметическое среднее
значение разностей соответствующего
порядка.
Система MathCad вычисляет определенные интегралы методом Ромберга. Не описывая его подробно, отметим лишь, что он является вариантом метода трапеций с делением на два интервала интегрирования с итерационным уточнением решения до достижения заданной точности (она определяется значением системной переменной TOL).
Если за заданное число итераций точность не достигнута, используется более точный метод Ромберга с открытыми концами. При нем число интервалов утраивается на каждом шаге интегрирования. Этот метод увеличивает число шагов интегрирования там, где подынтегральная функция меняется более резко (например, если она имеет разрыв).
К достоинствам метода можно отнести то, что он делает все возможное, чтобы вычислить интеграл даже сложной функции. Но для простых функций это ведет к увеличению времени вычислений. При наличии у подынтегральной функции особенностей время вычисления может резко возрастать из-за перехода от одной реализации метода Ромберга к другой. Поэтому нередко бывает оправданным применение достаточно точных формул интегрирования, например формул Ньютона-Котесса с легко предсказуемыми узлами, которые можно выбрать вдали от особых точек подынтегральной функции.
Для вычисления определенных интегралов в Mathcad нажмите & или вставьте знак интегрирования с соответствующей панели.
Функция
возвращает определенный интеграл f(x)
от а
до b,
где F – любая скалярная функция,
определенная в замкнутом интервале
[a, b];
x
– аргумент этой скалярной функции. а
и b
должны быть действительными скалярными
величинами, но f(х)
может быть комплексной величиной. а и
b должны иметь одинаковые размерности,
если они есть.
может быть функцией любого числа
переменных.
Подобно всем численным методам, алгоритм интегрирования Mathcad может иметь трудности с неправильными подынтегральными выражениями. Если подынтегральное выражение имеет особенности, разрывы, или большую и быструю флуктуацию, решение Mathcad может быть неточно.
Чтобы вычислить двойные или кратные интегралы, нажмите & несколько раз.
В следующем примере вычисляется определенный интеграл действительной функции f(x,y) в некоторой плоской области. Вводятся границы области интегрирования, принимаются а < x < b и с(x)<y<d(x) для всех x:
Вводится подынтегральная функция, описывающая плотность треугольника:
Тогда его масса вычисляется следующим образом:
