2. Множина Парето – оптимальних розв’язків. Ст. 246

Оптимум Парето — такий стан системи, при якому значення кожного окремого критерію, що описує стан системи, не може бути покращено без погіршення становища інших елементів.

Принцип, за словами Вільфредо Парето проголошує: «Слід вважати, що будь-яка зміна, яка нікому не завдає збитків і яка приносить людям користь (за їх власною оцінкою), є поліпшенням». Таким чином визнається право на всі зміни, які не приносять нікому додаткової шкоди.

Множина станів системи, оптимальних за Парето, називають «множиною Парето», «множиною альтернатив, оптимальних в сенсі Парето», або «множиною оптимальних альтернатив».

Ситуація, коли досягнута ефективність за Парето — це ситуація, коли всі вигоди від змін вичерпані.

Оптимум Парето є одним з центральних понять для сучасної економічної науки. На основі цього поняття будуються перша та друга фундаментальні теореми добробуту. Одним з застосувань Парето-оптимальності є т.зв. Парето-розподіл ресурсів (трудових ресурсів і капіталу) при міжнародній економічній інтеграції, тобто економічне об'єднання двох і більше держав. Цікаво, що Парето-розподіл до і після міжнародної економічної інтеграції було адекватно математично описано (Далімов Р.Т., 2008). Аналіз показав, що додана вартість секторів і доходи трудових ресурсів рухаються назустріч згідно з добре відомим рівнянням теплопровідності аналогічно газу або рідини в просторі, що дає можливість застосувати методику аналізу, що використовується у фізиці, щодо економічних завдань з міграції економічних параметрів.

Оптимум за Парето проголошує, що добробут суспільства досягає максимуму, а розподіл ресурсів стає оптимальним, якщо будь-яка зміна цього розподілу погіршує добробут хоча б одногосуб'єкта економічної системи.

Стан ринку оптимальний за Парето — ситуація, коли не можна поліпшити положення будь-якого учасника економічного процесу, одночасно не знижуючи добробуту як мінімум одного з інших.

Відповідно до критерію Парето (критерію росту суспільного добробуту), рух у бік оптимуму можливий лише при такому розподілі ресурсів, що збільшує добробут принаймні однієї людини, не завдаючи шкоди нікому іншому.

Вектор розв'язку   називається оптимальним за Парето якщо не існує   такого, що   для всіх   та   для бодай одного  . Множину оптимальних за Парето розв'язків можна позначити як  . Цільовий вектор є оптимальним за Парето, якщо відповідний йому вектор з області визначення також оптимальний за Парето. Множину оптимальних за Парето цільових векторів можна позначити як  .

Множина оптимальних за Парето векторів є підмножиною оптимальних за Парето в слабкому сенсі векторів. Вектор   є слабким оптимумом за Парето тоді, коли не існує вектора   такого, що   для всіх  .

Діапазон значень оптимальних за Парето розв'язків в області допустимих значень дає корисну інформацію про досліджувану задачу якщо цільові функції обмежено областю визначення. Нижні границі оптимальної за Парето множини представлено в «ідеальному цільовому векторі»  . Його компоненти   отримані шляхом мінімазації кожної цільової функції у межах області визначення.

Множину оптимальних за Парето розв'язків також називають Парето-фронтом (англ. Pareto-frontier).