Задание 9

1) Рассчитайте оптимальную смешанную стратегию Q*=(q₁,q₂,...,q_n) для игрока B (оппонента). Копии табл. 8.3 (для сравнения результатов) и 7.1 (для начала организации расчета) находятся на листе з9. Эти копии содержат только числовые значения, следовательно, не изменятся при изменении данных на листе методики.

8. Игры с природой

Под термином «природа» подразумевается совокупность внешних условий, которыми мы не можем управлять, но от которых зависит эффективность выбранной нами стратегии. Природа безразлична к нашему выигрышу, следовательно, ни одно ее возможное состояние нельзя отбросить.

Если вероятности различных состояний природы q_j известны, то пользуются критерием Байеса максимизируя средний выигрыш (табл. 8.1), или минимизируя средний риск (табл. 8.2).

Риском игрока A для чистой стратегии A_i при состоянии природы П_j называется разность между максимально возможным выигрышем при этом состоянии природы и выигрышем при выбранной чистой стратегии.

Платежная матрица Таблица 8.1

	Состояния природы					Выигрыш
	П1	П2	П3	П4	П5	Средн.	Min
A1	4	5	0	10	6	4,55	0
A2	1	9	8	6	2	4,85	1
A3	2	4	3	9	2	3,25	2
A4	9	1	8	1	5	5,15	1
qj	0,1	0,15	0,25	0,1	0,4
Max	9	9	8	10	6

Таблица 8.2

Матрица рисков

	Состояния природы					Риск
	П1	П2	П3	П4	П5	Средн.	Max
A1	5	4	8	0	0	3,1	8
A2	8	0	0	4	4	2,8	8
A3	7	5	5	1	4	4,4	7
A4	0	8	0	9	1	2,5	9
qj	0,1	0,15	0,25	0,1	0,4

одновременно максимизирует математическое ожидание выигрыша и минимизирует средний риск.

Когда вероятности состояний природы неизвестны, то используются несколько критериев. Если результаты совпадут, то это основание для выбора стратегии, а если нет, то сокращается область выбора, окончательное же решение зависит от склонности и готовности к риску лица принимающего решения. Рассмотрим эти критерии.

Максиминный критерий Вальда. Природа рассматривается как противодействующая сторона. Это стратегия крайнего пессимизма. Для приведенного примера (табл. 8.1) это A₃.

Максимаксный критерий. Выбирается стратегия, при которой возможно получение максимального выигрыша. Это безоглядный оптимизм, иногда на него делают ставку в безвыходном положении. Для приведенного примера это A₁.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Это промежуточный выбор между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Стратегия выбирается в соответствии со значением

max (λ min a_ij + (1-λ) max a_ij ) ,

^{i j j}

где λ – коэффициент пессимизма (0 ≤ λ ≤ 1). При крайних значениях этого коэффициента получим соответственно минимаксный и максиминный критерии. Можно критерий Гурвица применить и к матрице рисков (табл. 8.2), тогда он примет вид:

min (λ max r_ij + (1- λ) min r_ij ) ,

^{i j j}

При использовании этого критерия часто принимают значение параметра

λ = 0,5 или λ = 0,6 .

Критерий минимального риска Сэвиджа. Этот критерий получится при λ = 1 в критерии Гурвица для матрицы рисков. В приведенном примере (табл. 8.3) использования критерия Гурвица для матрицы рисков значение параметра λ можно изменять.

Таблица 8.3

Расчет по критерию Гурвица для матрицы рисков

	Состояния природы					Риск		Крите-
	П1	П2	П3	П4	П5	Min	Max	рий
A1	5	4	8	0	0	0	8	4,8
A2	8	0	0	4	4	0	8	4,8
A3	7	5	5	1	4	1	7	4,6
A4	0	8	0	9	1	0	9	5,4
	Величина параметра λ					0,6