1.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции в ряд Маклорена (1.3) нужно:

а) найти производные

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать ряд (1.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Докажем формулу (1.4). Пусть .

Имеем:

т. е. ряд сходится в интервале ;

г) для всех имеем т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 2 Таким образом,

Докажем формулу (1.5). Пусть .

Имеем:

Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех ;

любая производная функции по модулю не превосходит единицы,

Следовательно, по теореме 2 имеет место разложение (1.5).

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Так как , то заменяя х на в разложении (1.4), получим

.

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции

Решение. Так как

то, воспользовавшись формулой (1.9), в которой заменим х на , получим:

,

если

2. Некоторые приложения степенных рядов

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью .

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т. е.

,

а приближенное – частичной сумме , т. е.

Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т. е.

,

где

.

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

Пример 3. Найти с точностью до 0,001.

Решение. Согласно формуле (5),

Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член( т. е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение примерно равно 0,84147.

Пример 4. Вычислить число у с точностью до 0,001.

Решение. Подставляя в формулу (4), получим

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем n слагаемых и оценим ошибку :

т. е. Остается подобрать наименьшее натуральное число n, чтобы выполнялось неравенство < 0,001.

Нетрудно вычислить, ч то это неравенство выполняется при Поэтому имеем:

Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

,

где с находится между 0 и х₁ . В последнем примере Так как то При n = 6 имеем: