2.2. Единовременная рисковая премия

Задача определения единовременной рисковой премии в случае биномиального закона распределения.

Пример 5. Два автомобилиста застраховали от угона свои автомобили. У первого – отечественный автомобиль с современной рыночной ценой 2000 у.е., а у второго – иномарка ценой 10000 у.е. Страховая компания оценила вероятности угона: первого автомобиля в 0.01, а второго – 0.04. Найти единовременные рисковые премии.

Решение основано на принципе эквивалентности риска сторон. Математическое ожидание ущерба страховой компании по такому договору равно произведению страховой суммы на вероятность ее выплаты (в этом примере для простоты считаем, что при реализации страхового случая сумма выплачивается обязательно, тогда вероятности этих двух событий равны). Итак: S₁·p₁=2000·0.01=20, S₂·p₂=10000·0.04=400.

Страхователи должны компенсировать эти риски компании своими взносами, поэтому их единовременные рисковые премии соответственно равны: 20 и 400 у.е. Видно, что на размер взноса влияют оба фактора: страховая сумма и вероятность случая. Причем вероятность не только указывает, как часто (в среднем) будут происходить такие события, но и выполняет функцию страхового взноса за одну единицу страховой суммы ("ставки").

Замечание. В дальнейшем, при изучении проблемы формирования рисковой надбавки, будет показано, что эти надбавки в общем случае не пропорциональны размерам рисковых премий. Риски могут быть качественно однородными, но существенно различными по величине. Тогда компания будет стремиться обезопасить себя, прежде всего, от больших рисков. Поэтому надбавка рассчитывается по формуле: А·М(х)+B·D(x)+С·σ_х

Числовые коэффициенты рассчитываются на основании предыдущего опыта.

На практике для больших рисков надбавка выше (относительно, а не только абсолютно). Это дает повод для популистского лозунга, что «богатый платит за бедных». В действительности речь идет только о расширении доверительного интервала (повышении надежности) для больших рисков.

2.3. Пример распределенного риска

Ранее рассмотрен альтернативный вариант, когда страховой случай либо наступает с вероятностью р, и тогда выплачивается вся страховая сумма, либо случай не наступил, тогда выплаты нет.

Представляет интерес ситуация, где при наступлении страхового случая величина ущерба является случайной величиной с некоторым законом распределения. Рассмотрим дискретную величину.

Пример 6. Вероятность страхового случая р=0.1. Условное распределение:

X	100	200	300	400
Р	0.4	0.3	0.2	0.1

Определить размер единовременной рисковой премии.

Сначала найдем условное математическое ожидание ущерба X (взвешенную среднюю): М(Х/А)=100·0.4+200·0.3+300·0.2+400·0.1=200;

Теперь: М(Х)=М(Х/А)·р+0·q=200·0.1+0·0.9=20. Это и будет искомой рисковой премией.

Пример 7. Рассмотрим непрерывно распределенный размер ущерба. Пусть случай наступает с вероятностью 0.05, и тогда ущерб распределен равномерно на отрезке (0, 600). Здесь условное математическое ожидание равно 300, тогда рисковая премия равна 15.

Разумеется, и для таких договоров представляет интерес задачи определения возможного отклонения фактического значения от ожидаемого, особенно, для всего портфеля. Именно на основании этого определяется надбавка, капитал, перестраховочная программа.

Пример 8. Объект застрахован от пожара на сумму 6 млн. Вероятность пожара 0.0001, а величина ущерба распределена равномерно от 0 до 6 млн. Найти среднее значение и дисперсию иска.

Из свойств равномерного распределения следует, что условные значения этих величин (при условии, что случился пожар) равны: М(Х/А)=S/2=3·10⁶, D(X/A)=S²/12=3·10¹².

Тогда, учитывая вероятность, получим безусловные значения: М(Х)=300, D(X)=D(X/A)·p+M(X/A)²·pq=3·10⁸+(3·10⁶)²·0.0001·0.9999=(3+9)·10⁸=12·10⁸. Тогда СКО=3.46·10⁴; коэффициент вариации: 34600/300=115.

Здесь проиллюстрирована опасность для страховщика принятия одного риска.

Пример 9. Ущерб при пожаре (если он произошел) распределен по экспо­ненциальному закону со средним значением 2000. Предел ответственности страховой компании 5000. Найти среднее значение действительно предъявленного иска.

Уточним, если X<L, то компания платит X; иначе платит L, т.е. Y=min(X,L). Поэтому строим распределение величины действительно предъявляемого иска:

P(Y<х)=1, если х>L; или P(Y<x)=Р(Х<х), если х<L. Можно рассмотреть: P(Y>х)=0, если х>L; или P(Y<x)=P(Y>х), если х>L.

Теперь находим математическое ожидание, рассматривая вместо интеграла от 0 до бесконечности интеграл от 0 до L, (после L подынтегральная функция равна 0). Получим:

Отметим, что найденное среднее значение меньше параметра, и это будет иметь место при любом L, причем с увеличением L разность будет стремиться к 0. Это определяется свойствами экспоненциального распределения.