§ 2. Развитие понятия натурального числа

Как показывают научные данные по истории математи­ки, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практиче­ской деятельностью возникла потребность как-то количест­венно оценивать совокупности.

На этой стадии развития понятие числа представля­ло собой отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые сово­купности, но и создавать совокупности определенного коли­чества. Для этого предметы определенной совокупности со­поставлялись по одному непосредственно с предметами дру­гой совокупности или с помощью некоторого эталона (зарубки, узелки, части тела человека и др.). Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так, практически, человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствии с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке и т. д. Этот период в истории развития натурального числа называ­ется стадией счета на пальцах — ручного счета.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой, или счетом с помощью чисел-совокупностей. Идея считать группы была подсказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встречаются на практике постоянными группами (парами, тройками, де­сятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-ба-нара» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому соот­ветствовало бы число 10, не используется. На одном из диа­лектов индейцев западной части Канады слово «тха» озна­чает три вещи, «тхе» — три раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, там нет.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел.

Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные числа названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соедини­тельные нити между узловыми числами.

Постепенно определился последовательный ряд нату­ральных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чисел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умноже­ние. Особенно это прослеживается в римской нумерации: VI = 5 + 1; ХС = 100 — 10 и т. д.

§ 3. Виды письменной нумерации. Системы счисления

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр; каждую вещь, каждое действие изобража­ли рисунком, который постепенно становился иероглифами древних египтян.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н. э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мяг­кой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки раз­мещались и горизонтально и вертикально, в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали едини­цы, а горизонтальные — так называемые «десятки» — едини­цы второго разряда.

Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков. По имени ученого, который предложил ее, она вошла в историю культу­ры под названием геродианова нумерация. Так, в этой нумера­ции число «пять» называлось «pinta» и обозначалось буквой «Р», а число «десять» называлось «deka» и обозначалось бук­вой «Д». В римской нумера­ции есть семь узловых знаков: I, V, X, L, С, Д, М.

Можно предположить, как появились эти знаки. Знак I (единица) — это иероглиф, который изображает один па­лец (каму), знак V — изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем), а число 10 — изображе­ние вместе двух пятерок (X). Чтобы записать числа II, III, IV, пользуются теми же самыми знаками, отображая дейст­вия с ними. Так, числа II и III повторяют единицу соответ­ствующее число раз. Для записи числа IV перед (пятью) ставится I. В этой записи единица, поставленная перед пя­теркой, вычитается из V, а единицы, поставленные за V, прибавляются к ней. И точно так же единица, записанная перед десятью (X), отнимается от десяти, а та, что стоит спра­ва, прибавляется к ней. Число 40 обозначается XL. В этом случае от 50 отнимается 10. Для записи числа 90 от 100 отни­мается 10 и записывается ХС.

Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений. Никаких действий в письменном виде (расчеты «столбиками» и дру­гие приемы вычислений) с римскими цифрами проделать практически невозможно. Это очень большой недостаток римской нумерации.

У некоторых народов запись чисел осуществлялась бук­вами алфавита, которыми пользовались в грамматике. Эта запись имела место у славян, евреев, арабов, грузин.

Алфавитная система нумерации впервые была применена в Греции. Самую древнюю запись, сделанную по этой систе­ме, относят к середине V в. до н. э. Во всех алфавитных систе­мах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными символами с помощью соответствующих букв алфавита. В греческой и славянской нумерациях над буквами, которые обозначали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло» (~). Например, и т. д.

Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Сейчас существует индийская система записи чисел. Завезе­на она в Европу арабами, поэтому и получила название араб­ской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумера­ции для записи чисел используется 10 знаков, которые называ­ются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до 9. Деся­тый знак — нуль (0) — означает отсутствие определенного раз­ряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно записать какие угодно большие числа.

Все письменные системы счисления де­лятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

К непозиционным системам счисления относятся: иерогли­фическая, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисления — это такая система запи­си чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он написан.

В позиционных системах каждый знак имеет разное значение в зависимости от того, на каком месте в записи числа он стоит.

Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Важным пре­имуществом позиционных систем является простота и лег­кость выполнения арифметических операций над числами.