Решение:

График функции изобразим на рис. 5. Видно, что функция – разрывная. Найдем коэффициенты Фурье. Здесь

а₀ = = ,

а_n = , (n =1,2,...),

b_n = .

Стало быть, при 0 < x < 2π будет x = .

В точках x = 0 и x = 2 сумма S(x) ряда равна .

§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.

Пусть функция f(x) задана и дифференцируема на отрезке [–l; l]. Положим φ(z) = .

Тогда φ(z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ(z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z < π будет

φ(x) = + .

Положим в этом равенстве . Тогда для – l < x < l , то есть для функций с любым периодом 2ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:

f(x) = + cos + sin ), ( 1.25 )

где а₀ = (x)dx; а_n= x) cos dx; b_n= x) sin dx (1.26)

Если f(x) – четная, то , (1.27)

где а₀ = (x)dx; а_n= (x) cos dx . (1.28)

Если f(x) – нечетная, то , (1.29)

где b_n= (x) sin dx. (1.30)

Замечание. Можно от периода 2 перейти к периоду 2, произведя замену переменной по формуле х = или х^/ =  (x–l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2 - периодических функций.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на интервале –2  х  2.

Решение:

Рис. 6

График функции f(x) = x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.

b_n = dx = = – х cos dx =

= – cos n + = – cos n + sin n = – cos n =

=

Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f(x) имеет вид:

f(x) = x = – + – ... = – .

Пример 6.

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =

Решение:

Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х = , т.о. получаем функцию:

f

при 0 < х ^/ < .

при - < х ^/  0,

(x) =

Найдем коэффициенты Фурье.

а ₀ = dx ^/ + dx ^/ = 3/2.

a_n= cos nx ^/ dx ^/ + cos nx ^/ dx ^/ = =

= + = nx ^/ dx ^/ =

=

n – четное

n – нечетное.

[1–(–1)ⁿ] =

b_n = sin nx ^/ dx ^/ + sin nx ^/ dx ^/ = sin nx ^/ dx ^/ = – .

Следовательно, f(x) = + cos[(2k+1)(x–1)] – sin[n(x–1)].

§ 7. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную на полупериоде, т.е. в интервале (0, p) или (0, l). В этом случае можно произвольно продолжить функцию f(x) на интервал (–, 0) или (–l,0) но так, чтобы образовавшаяся в этом интервале новая функция F(x), совпадающая с f(x) в интервале (0, ) или (0, l), удовлетворяла условиям основной теоремы. Разложив F(x) в ряд Фурье на интервале (-, p) или (-l, l), получим искомый ряд, представляющий f(x) в интервале (0, p) или (0, l), и не имеет значения, что он в интервале (–,0) или (–l,0) представляет какую-то другую функцию, по существу не связанную с данной функцией f(x).

В частности, f(x) можно продолжить четно на интервал (–,0) или (–l,0), значит график f(x) надо продолжить симметрично относительно оси (оу). Тогда F(x) – четная функция, и ряд будет состоять только из косинусов.

Если f(x) продолжить нечетно на интервал (–,0) или (–l,0), значит график f(x) продолжить симметрично относительно начала координат, то F(x) будет нечетной, и ряд будет состоять только из синусов.

Т.е. можно составить сколько угодно сходящихся тригонометрических рядов, представляющих в интервале (0,) или (0,l) одну и ту же функцию, а в интервале (–,0) или (–l,0) самые разнообразные функции.

Функцию, заданную на полупериоде [0; ], можно разложить в ряд синусов или ряд косинусов, продолжая на второй полупериод соответственно нечетным или четным образом.

Пример 7. Функцию f(x) = – разложить в ряд косинусов на интервале (0; ).