4. Ряди фур'є

1. Ряди Фур'є функцій періоду 2π

Нехай функція є періодичною з періодом 2π і інтегрованою на відрізку [-π;π]. Рядом Фур'є функції називається тригонометричний ряд

, (7.1)

коефіцієнти якого визначаються за формулами

, , (7.2)

При цьому пишуть так ( ~ знак відповідності):

~ ,

тому що ряд Фур'є функції не завжди має своєю сумою цю функцію, якщо навіть збігається.

Справедлива наступна теорема (Дирихле).

Теорема 7.1. Якщо періодична функція з періодом 2π кусочно-монотонна й обмежена на відрізку [-π;π], то ряд Фур'є, побудований для цієї функції, збігається у всіх точках.

Сума отриманого ряду дорівнює значенню функції в точках безперервності цієї функції. У точках розриву функції сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції праворуч і ліворуч (тобто, якщо х=с – точка розриву функції , то .

Приклад1. Розкласти в ряд Фур'є функцію періоду 2π, означену рівністю:

Розв’язання.

Графік цієї функції представлений на рисунку 7.1.

Рисунок 7.1.

Обчислимо коефіцієнти Фур'є цієї функції.

Тобто, , (k=1, 2, 3,…...)

Ряд Фур'є цієї функції має вигляд:

~ . (7.3)

За теоремою Дирихле ряд (7.3) збігається при всіх . Сума ряду в точках безперервності функції дорівнює цієї функції. У точках .

2. Розкладання в ряд Фур'є парних й

непарних функцій періоду 2π

Ряд Фур'є парної функції, тобто задовольняючій умові = , не містить членів із синусами. Цей ряд має вигляд:

~ (7.4)

де

, (7.5)

Якщо - непарна функція, тобто задовольняє умові = =- , то її ряд Фур'є не містить вільного члена й членів з косинусами. Цей ряд має вигляд:

~ , (7.6)

де = (7.7)

Приклад2. Розкласти в ряд Фур'є функцію з періодом 2π, яка задана рівністю .

Розв’язання.

Ця функція парна, її графік симетричний відносно осі Оу (див. рис.7.2)

4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π

Рисунок 7.2.

Обчислимо коефіцієнти Фур'є для цієї функції.

;

Ряд Фур'є цієї функції має вигляд:

~ .

Тому що всюди безперервна, кусочно-монотонна й обмежена, те її ряд Фур'є сходиться при всіх і сума ряду дорівнює .

3. Розкладання в ряд Фур'є функцій з періодом 2ℓ

Якщо функція періодична з періодом 2ℓ (ℓ - будь-яке дійсне число) і інтегрована на відрізку [-ℓ;ℓ], то ряд Фур'є цієї функції має вигляд:

~ ,

де

, ,

Якщо, зокрема, парна, то

, , =0.

Якщо непарна, то

, =0, =0

Приклад3. Розкласти в ряд Фур'є функцію з періодом 2ℓ=4, задану на інтервалі-періоді (-2;2) рівністю .

Розв’язання.

Графік цієї функції симетричний відносно початку координат (рис. 7.3.) Функція непарна.

Рисунок 7.3.

Для цієї функції =0, =0

Функції відповідає ряд Фур'є виду:

~ .

Сума ряду в точках безперервності функції дорівнює , у точках =0.