Федеральное агентство по образованию Совет ректоров вузов Томской области Открытая региональная межвузовская олимпиада – 2008
МАТЕМАТИКА
Билет № 409
Упростите выражение (7 баллов)
2. Сколько точек пересечения имеют
графики функций
(7 баллов)
3. Имеются два сплава золота и серебра. В первом сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
(10 баллов)
4. Решите неравенство 
(10 баллов)
5. Решите уравнение
(10 баллов)
6. Решите уравнение
(12 баллов)
7. Решите неравенство
(12
баллов)
8. В правильную четырехугольную пирамиду
вписана последовательность сфер так,
что первая сфера касается основания и
четырех боковых граней, а каждая
последующая - предыдущей сферы и четырех
боковых граней. Отношение радиуса
третьей сферы к радиусу шестой равно
,
где Ф - положительный корень уравнения
.
Найдите площадь полной поверхности
пирамиды, если сторона основания равна
.
Ответ представить в виде степени с
основанием Ф.
(15 баллов)
9. Для каждого допустимого значения параметра a решите уравнение:
.
(15 баллов)
Зам.председателя оргкомитета Олимпиады:___________________________ И.Е.Никулина
Председатель предметного жюри: _________________________ А.А.Михальчук
Федеральное агентство по образованию Совет ректоров вузов Томской области Открытая региональная межвузовская олимпиада – 2008
МАТЕМАТИКА
Билет № 410
Упростите выражение
(7 баллов)
2. Определить графически число корней
уравнения:
?
(7 баллов)
3. Вертолёт пролетает 75 км при попутном ветре и 130 км против встречного ветра, затратив на весь путь 1,5 ч. Найдите собственную скорость вертолёта, если скорость ветра 10 ?
(10 баллов)
4. Решите неравенство 
(10 баллов)
5. Решите уравнение
(10 баллов)
6. Решите уравнение
(12 баллов)
7. Решите неравенство
(12
баллов)
8. В правильной четырехугольной пирамиде отношение апофемы пирамиды к стороне основания равно , где Ф - положительный корень уравнения . В пирамиду вписана последовательность сфер так, что первая сфера касается основания и четырех боковых граней, а каждая последующая - предыдущей сферы и четырех боковых граней. Найдите отношение сумму радиусов нечетных вписанных сфер к сумме радиусов четных вписанных сфер. Ответ представить в виде степени с основанием Ф.
(15 баллов)
9. При каких значениях параметра а
равносильны следующие два уравнения:
и
.
(15 баллов)
Зам.председателя оргкомитета Олимпиады:___________________________ И.Е.Никулина
Председатель предметного жюри: _________________________ А.А.Михальчук