14.9. Імпульсна функція

Розглянемо прямокутний імпульсний сигнал, тривалість якого – ∆t, амплітуда – А (рис. 14.11).

x(t)

A

t

0 ∆t

Інтенсивність цього сигналу дорівнює S = A · ∆t.

Нехай А = , тоді S = A ·∆t = 1.

Прямокутний імпульс, інтенсивність якого дорівнює одиниці називається одиничним імпульсом.

Одиничний імпульс можна отримати за допомогою двох ступінчастих функцій (рис. 14.12):

- ступінчастої функції ·1(t) , що вмикається при t = 0 ;

- ступінчастої функції - ·1(t-∆t) , що вмикається при t = ∆t .

x(t)

·1(t)

t

0

x(t) = .

Якщо для одиничного імпульсу ∆t    тоді отримаємо імпульсну функцію (t) (дельта-функція, функція Дірака), яка дорівнює

Таким чином, імпульсна функція є ліміт, до якого прямує одиничний прямокутний імпульс при ∆t , тобто імпульсна функція є похідною від одиничної функції

І зворотно:

Імпульсна функція характеризується такими властивостями:

1. 2.

Тобто це є функція, яка дорівнює нулю при та дорівнює нескінченності при , а інтеграл від неї дорівнює одиниці.

Для електричного кола дія імпульсної функції відповідає підключенню нескінченно великого імпульсу нульової тривалості в момент часу .

Якщо неперервну функцію помножити на імпульсну функцію , то отримаємо імпульсний сигнал, що діє при

,

а інтенсивність такого сигналу дорівнює значенню функції при , тобто

.

Крім імпульсної функції, що діє при , використовується функція , що діє при . Тоді

,

а інтенсивність такого сигналу дорівнює значенню функції в момент :

.

Для електричного кола це означає, що при на вхід кола подається імпульсний сигнал, інтенсивність якого дорівнює значенню вхідної функції при , тобто .

Отже, за допомогою імпульсної функції можна подати будь-який сигнал у вигляді суми імпульсних сигналів, інтенсивність яких дорівнює значенню вхідної функції в момент їх дії.

В природі не існує нескінченно великих імпульсів нульової тривалості, однак імпульсна функція є доброю ідеалізацією реального імпульсу, якщо його тривалість значно менше часу перехідного процесу в колі або постійної часу.

14.10. Імпульсна характеристика кола

Імпульсною характеристикою кола (вагова функція) є реакція електричного кола з нульовими початковими умовами на вхідну імпульсну функцію.

Вхідний сигнал:

Вихідний сигнал:

Імпульсна характеристика кола це є функція часу , яка дорівнює відношенню вихідного сигналу , що виникає під впливом на коло імпульсного сигналу S δ(t), до інтенсивності цього сигналу S :

Звідси реакція: .

Якщо інтенсивність імпульсного сигналу , то імпульсна характеристика дорівнює реакції кола на цю імпульсну функцію.

Якщо , то

Визначимо зв’язок між та (перехідною та імпульсною характеристиками кола). Відомо, що – тобто імпульсною функцією є похідна від одиничної функції.

Реакції лінійного електричного кола на ці сигнали, повинні бути зв’язані такою ж залежністю. Отже:

.

Отож, для визначення імпульсної характеристики кола необхідно визначити перехідну характеристику кола та взяти від неї похідну.

Причому, якщо при ; , то вираз для буде мати наступний вигляд:

Покажемо це на конкретному прикладі.

Нехай маємо перехідну характеристику . Подамо у вигляді суми двох функцій:

- ступінчастої функції: ;

- функції , яка аналогічна , але дорівнює нулю при .

0. t

Отже

Враховуючи, що для всіх отримаємо:

Якщо вхідним сигналом кола є імпульсна функція напруги, а вихідним сигналом – перехідний струм, то імпульсною характеристикою є імпульсна провідність.

Якщо вхідним сигналом є імпульсна функція напруги, а вихідним сигналом – напруга, то імпульсною характеристикою є імпульсний коефіцієнт передачі напруги