Двоїстий симплекс-метод

При розв’язуванні прямої задачі на довільній ітерації значення коефіцієнта в -рядку симплекс-таблиці дорівнює різниці між лівою та правою частинами відповідного обмеження двоїстої задачі:

.

Якщо , то , іншими словами, коли розв’язок прямої задачі неоптимальний, то розв’язок двоїстої неприпустимий. З іншого боку, якщо , то , тобто оптимальному розв’язкові прямої задачі відповідає припустимий розв’язок двоїстої.

В двоїстому симплекс-методі спочатку отримуємо розв’язок “кращий, ніж оптимальний” (надоптимальний), але неприпустимий. Двоїстий СМ забезпечує виконання умови оптимальності та наближення кожного наступного біжучого розв’язку до області припустимих розв’язків. В момент, коли отриманий розв’язок виявляється припустимим, процес розв’язування закінчується, так як останній розв’язок є оптимальним і припустимим.

Всі значення , і це співвідношення зберігається на кожній ітерації двоїстого СМ. Деякі елементи стовпчика є від’ємними. Перехід від одного біжучого розв’язку до іншого здійснюється до моменту, поки з не будуть виключені від’ємні елементи.

Алгоритм двоїстого СМ включає наступні кроки:

1.Знаходження початкового надоптимального розв’язку.

2.Перевірка біжучого надоптимального розв’язку на припустимість (Якщо в стовпчику відсутні від’ємні значення, то знайдений оптимальний розв’язок. Стоп. ).

3.Обираємо найбільше за абсолютною величиною від’ємне значення в стовпчикові і визначаємо його індекс – – цим шляхом визначаємо змінну , яку виключаємо з бази. Визначаємо індекс змінної, що включається до бази, Таким чином ведучий елемент є .

4.Переходимо до наступного надоптимального розв’язку так само, як і в звичайному СМ, використовуючи схему Ґауса-Жордана.

Приклад 8).

- 4x₁- 7x₂ - 8x₃ - 5x₄  Max,

x₁+ x₂ +2x₄ >=4 x₁+ x₂ +2x₄ - x₅ >=4

2x₁+ x₂ +2x₃ >=2 2x₁+ x₂ +2x₃ - x₆ >=2

x₁>=0 x₂ >=0 x₃ >=0 x₄>=0.

			c1	c2	c3	c4	c5	c6
xb	cb	P0	-4	-7	-8	-5	0	0
			P1	P2	P3	P4	P5	P6
x5	0	-4	-1	-1	0	-2	1	0
x6	0	-6	-2	-1	-2	0	0	1
Q		0	4	7	8	5	0	0
x5	0	-1	0	-1/2	1	-2	1	½
x1	-4	3	1	½	1	0	0	-1/2
Q		-2	0	5	4	5	0	2
x4	-5	½	0	¼	-1/2	1	-1/2	-1/4
x1	-4	3	1	½	1	0	0	-1/2
Q		-29/2	0	2	13/2	0	5/2	13/4