Отримання оптимального розв’язку двоїстої задачі за допомогою симплекс-методу
Розглянемо можливості отримання оптимального розв’язку двоїстої задачі з оптимального розв’язку (за допомогою останньої симплекс-таблиці) прямої задачі.
Приклад 7).
Пряма задача.
Q= 3x1+2x2 Max,
x1+2x2<=6 x1+2x2+х3 =6 y1
2x1+x2<=8 2x1+x2 +х4 =8 y2
-x1+x2<=1 -x1+x2 +х5 =1 y3
x2<=2 x2 +х6 =2 y4
x1 >=0 x2 >=0 xj>=0
Кожне обмеження прямої задачі відповідає змінній двоїстої задачі, кожна змінна прямої задачі відповідає обмеженню двоїстої. Запишемо умову двоїстої задачі:
Двоїста задача.
6y1+ 8y2 + y3 + y4 Min,
y1+ 2y2 - y3 >=3
2y1+ y2 + y3 + y4 >=2
y1>=0 y2 >=0 y3 >=0 y4>=0.
Оскільки пряма задача розв’язана в попередніх темах, запишемо останню симплекс-таблицю для прямої задачі, в якій наявний оптимальний розв’язок:
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
c4 |
c5 |
c6 |
xb |
cb |
P0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
x2 |
2 |
4/3 |
0 |
1 |
2/3 |
-1/3 |
0 |
0 |
x1 |
3 |
10/3 |
1 |
0 |
-1/3 |
2/3 |
0 |
0 |
x5 |
0 |
3 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
x6 |
0 |
2/3 |
0 |
0 |
-2/3 |
1/3 |
0 |
1 |
Q |
|
38/3 |
0 |
0 |
1/3 |
4/3 |
0 |
0 |
Для визначення оптимальних значень змінних двоїстої задачі згідно до теорем двоїстості складаємо рівняння:
Коефіцієнт при початковій базовій змінній в рядку прямої задачі |
= |
Різниця між лівою та правою частинами обмеження двоїстої задачі, яке асоційоване з цією початковою змінною початковою змінною |
Це
ж співвідношення в звичній формі:
,
.
Відповідні співвідношення для прикладу:
1/3 = y1 - 0 x3
4/3 = y2 - 0 x4
1/3 = y3 - 0 x5
1/3 = y4 - 0 x6
Наслідком з 1-ї теореми є те, що для будь-якої пари припустимих розв’язків прямої та двоїстої задачі:
Значення функції мети в задачі максимізації |
<= |
Значення функції мети в задачі мінімізації |
Це співвідношення має важливе практичне значення: розв’язуючи пряму та двоїсту задачу, можна в будь-який момент припинити хід розв’язування за умови досягнення необхідної точності (інтервал значень функції мети).