Особливі випадки см та відображення їх в симплекс-таблицях

Особливі випадки виникають внаслідок певних аномалій в умові задачі ЛП і поділяються на наступні.

а1). Виродженість – наявність надлишкових обмежень – якщо в вершині, де знаходиться оптимальний розв’язок, то такі обмеження несуттєві.

а2). Виродженість – наявність надлишкових обмежень в неоптимальних вершинах. Цьому випадку відповідає відсутність однозначного вибору в симплекс-таблиці – існує щонайменше два однакових значення , і хоча б одна з базових змінних рівна нулю. Не існує способу виявлення надлишкових обмежень безпосередньо з симплекс-таблиці.

В цьому випадку можливе виникнення зациклювання програми. Хоча й існують спеціальні прийоми, які запобігають зациклюванню, в практичних алґоритмах вони не застосовуються, оскільки суттєво подовжують час розв’язування задачі.

б). Безмежна множина оптимальних розв’язків. Якщо небазова змінна x_j зi значенням с_j =0 включається в базу, то її включення не змінює значення функції мети Q, але дозволяє отримати наступну кутову точку.

в). Необмежені розв’язки: якщо знайдеться , для якого всі значення у відповідному j-му стовпці симплекс-таблиці, то максимальне (мінімальне) значення функції мети буде необмеженим.

г). Необмежена область розв’язків: в симплекс-таблиці , але відповідне значення .

д). Відсутність припустимих розв’язків: хоча б одна штучна змінна в оптимальному розв’язку задачі після першого етапу двоетапного методу не рівна нулеві.

Інтерпретація симплекс-таблиць

За допомогою симплекс-таблиць безпосередньо або за допомогою нескладних обчислень можна отримати значно більшу інформацію, аніж лише координати оптимального розв’язку, а саме:

• Оптимальний розв’язок

• Статус ресурсів

• Цінність кожного з ресурсів

• Чутливість оптимального розв’язку до зміни запасів ресурсів, варіацій значень коефіцієнтів функції мети та інтенсивності споживання ресурсів.

Розглянемо останню СТ початкового прикладу цієї теми.

Оптимальний розв’язок. Значення отримуємо безпосередньо з СТ як компоненти стовпчика P₀: x₁*=10/3, x₂*=4/3, Q*=38/3.

			c1	c2	c3	c4	c5	c6
xb	cb	P0	3	2	0	0	0	0
			P1	P2	P3	P4	P5	P6
x2	2	4/3	0	1	2/3	-1/3	0	0
x1	3	10/3	1	0	-1/3	2/3	0	0
x5	0	3	0	0	-1	1	1	0
x6	0	2/3	0	0	-2/3	1/3	0	1
Q		38/3	0	0	1/3	4/3	0	0

Статус ресурсів. Статус ресурсів також визначається безпосередньо з СТ за значеннями додаткових змінних x₃ – x₆:

Ресурс	Дод. змінна	Статус ресурсу
1	x3=0	Дефіцитний
2	x4=0	Дефіцитний
3	x5=3	Недефіцитний
4	x6=2/3	Недефіцитний

Цінність ресурсу розглядається як величина збільшення оптимального значення функції мети, що припадає на одиницю приросту об’єму цього ресурсу та визначається за значеннями коефіцієнтів при змінних початкової бази. З останнього рядка СТ записуємо Q= 12 2/3 - (1/3x₃+4/3x₄+0x₅+0x₆)

Рівняння для ресурсу 1: x₁+2x₂+x₃=6.

Збільшення значення x₃ еквівалентне зменшенню запасу ресурсу на 1 одиницю (тобто це є невикористаний ресурс). Найбільш цінним є ресурс 2, збільшення запасу якого (і відповідно зменшення значення x₄) на одиницю приводить до збільшення значення функції мети на 4/3.

Межі зміни значень запасів ресурсів визначаються з умови невід’ємності значень змінних задачі, . Розв’язуючи систему нерівностей для кожного ресурсу, що відповідає змінній x_j отримуємо межі .

Визначимо межі зміни ресурсу, що відповідає x₃ (першого ресурсу).

.

а). Якщо , то відповідні нерівності виконуються, коли:

(1) – завжди ; (2) — за умови ; (3)— за умови ; (4) — за умови . Таким чином .

б). Якщо , то відповідні нерівності виконуються, коли:

1. – , (2)-(4) – завжди. Таким чином .

Об’єднуючи отриманий результат, отримуємо .

Оскільки запас цього ресурсу становив 6, то припустимі межі зміни знаходитимуться в інтервалі [4; 7], що відповідає результату, отриманому шляхом графічного розв’язування. Аналогічно визначаються й межі зміни запасу іншого ресурсу.

Визначення меж зміни значень коефіцієнтів функції мети.

Цей крок відповідає на запитання: Яка можлива максимальна зміна коефіцієнтів питомого прибутку, при якій координати розв’язку залишаються незмінними? Розглядаючи зміну коефіцієнту с₁, запишемо . Відповідне співвідношення запишемо і для зміни с₂: .

Якщо б ми виконали всі розрахунки від першої до останньої симплекс таблиці з відповідними значеннями , то отримали б наступний результат:

				c1	c2	c3	c4	c5	c6
	xb	cb	P0	3	2	0	0	0	0
				P1	P2	P3	P4	P5	P6
	x2	2	4/3	0	1	2/3	-1/3	0	0
	x1	3	10/3	1	0	-1/3	2/3	0	0
	x5	0	3	0	0	-1	1	1	0
	x6	0	2/3	0	0	-2/3	1/3	0	1
	Q		38/3	0	0	1/3	4/3	0	0
	Q		38/3+10/3	0	0	1/3-1/3	4/3+2/3	0	0
	Q		38/3+4/3	0	0	1/3+2/3	4/3-1/3	0	0

Значення розраховуємо, приймаючи до уваги те, що значення небазових змінних не можуть бути від’ємними, тобто

1). 1/3- /3>=0, <=1,

4/3+2/3>=0, >=-2,

-2<= <=1, 1<=c₁<=4.

2). 1/3+2/3 >=0, >=-1/2,

4/3-1/3 >=0, <=4,

-1/2<= <=4, 3/2<=c₂<=6.