2.3. Симплекс-метод та його варіанти

Симплекс-метод ґрунтується на двох основних теоремах ЛП.

Теорема 1. Якщо задача ЛП має оптимальний розв’язок, то максимальне значення функція мети набуває в одній з вершин (кутових точок) многогранника, що утворений обмеженнями. Якщо функція мети отримує це значення більш, ніж в одній кутовій точці, то вона має таке ж значення в довільній їх опуклій комбінації.

Таким чином координати вершин многогранника припустимої області дають достатній об’єм інформації для знаходження оптимального розв’язку.

Базовий розв’язок системи визначається базою – незалежними векторами . В довільній екстремальній точці змінна , якій відповідає , що не входить до бази, має нульове значення. Таким чином загальна кількість базових розв’язків становить .

Теорема 2. Базові розв’язки системи повністю визначають всі її кутові точки.

В принципі координати цих точок можна розрахувати, відсіюючи всі неприпустимі точки та залишаючи ту, для якої значення функції мети максимальне. Але такий шлях є найменш ефективним, оскільки ґрунтується на ідеї повного перебору.

Загальна схема алгоритму симплекс-методу та його таблична форма

Загальна схема алгоритму симплекс-методу є наступною:

1. Знаходження початкового припустимого базового розв’язку.

2. Перевірка на зупинку алгоритму: чи знайдений розв’язок є оптимальним? Якщо так, то стоп.

3. Пошук наступної вершини многогранника, до якої необхідно перейти: визначення змінної, що вводиться до бази (ведучого стовпчика); визначення змінної, що виводиться з бази (ведучого рядка).

4. Перехід до нової вершини з застосуванням методу Ґауса. Перехід до п.2.

Таблична форма алгоритму:

Вважаємо, що п.1 вже реалізовано – знайдений початковий базовий розв’язок — тобто форма з m одиничними векторами.

1. Будуємо початкову симплекс-таблицю і розраховуємо значення: , де критерії оптимальності знайденого розв’язку, біжуче значення функції мети для знайденого базового розв’язку.

2. Перевірка на оптимальність:

а). - розв’язок оптимальний. Стоп.

b). — функція мети необмежено зростає. Стоп.

c). - наступний крок.

3. Визначення ведучого стовпчика (яка змінна вводиться до бази): - індекс ведучого стовпчика.

Визначення ведучого рядка (яка змінна виводиться з бази): . Ведучий елемент – .

Перехід до нової симплекс-таблиці. Заповнюємо СТ в наступній послідовності: заповнюємо стовпчик базових змінних та відповідні значення ; заповнюємо стовпчики базових змінних (одиничні вектори!), відповідні значення ; заповнюємо рядок, що відповідає ведучому рядкові в попередній СТ - — таким чином всі елементи старого ведучого рядка ділимо на ведучий елемент і записуємо на відповідне місце в новій СТ; значення інших елементів СТ ( ) обчислюємо за формулами – , (правило трикутника); обчислюємо Q та . Перехід до п.2.

Якщо задача має вироджені опорні плани (базові розв’язки), то на одній з ітерацій одна або декілька змінних базового розв’язку рівні 0, що може приводити до зациклювання.

xb	cb	P0	c1	c2	…	cm	…	cj*		cn
			P1	P2	…	Pm	…	Pj*		Pn
x1	c1	b1	1	0	…	1	…	a1j*		a1n
x2	c2	b2	0	1	…	0	…	a2j*		a2n
.	.	.	.	.	…	.	…	.	.	.
xi*		bi*	0	0	…	0	…	ai*j*		ain
.	.	.	.	.	…	.	…	.	.	.
xm	0	bm	0	0	…	0	…	amj*		amn
Q	=	Q0	0	0	…	0	…
x1	c1	b1`	1	0	…	1	…	0		a`1n
x2	c2	b2 `	0	1	…	0	…	0		a`2n
.	.	.	.	.	…	.	…	.	.	.
xj*		bi*/ai*j*	0	0	…	0	…	1		ain/ai*j*
.	.	.	.	.	…	.	…	.	.	.
xm	0	bm `	0	0	…	0	…	0		a`mn
Q	=	Q0	0	0	…		…	0

Приклад 4. Розв’язування задачі ЛП за допомогою СМ

Q= 3x₁+2x₂  Max,

x₁+2x₂<=6 x₁+2x₂+х₃ =6

2x₁+x₂<=8 2x₁+x₂ +х₄ =8

-x₁+x₂<=1 -x₁+x₂ +х₅ =1

x₂<=2 x₂ +х₆ =2

x₁ >=0 x₂ >=0

			c1	c2	c3	c4	c5	c6
xb	cb	P0	3	2	0	0	0	0
			P1	P2	P3	P4	P5	P6
x3	0	6	1	2	1	0	0	0	6/1=6
x4	0	8	2	1	0	1	0	0	8/2=4; 4<6
x5	0	1	-1	1	0	0	1	0
x6	0	2	0	1	0	0	0	1
Q		0	-3	-2	0	0	0	0
x3	0	2	0	3/2	1	-1/2	0	0
x1	3	4	1	½	0	½	0	0
x5	0	5	0	3/2	0	½	1	0
x6	0	2	0	1	0	0	0	1
Q		12	0	-1/2	0	3/2	0	0
x2	2	4/3	0	1	2/3	-1/3	0	0
x1	3	10/3	1	0	-1/3	2/3	0	0
x5	0	3	0	0	-1	1	1	0
x6	0	2/3	0	0	-2/3	1/3	0	1
Q		38/3	0	0	1/3	4/3	0	0

Таким чином оптимальний розв’язок , і оптимальне значення критерію .