9

Тема 1. Побудова моделей задач математичного програмування

1.1. Формальна постановка задачі мп

Математичне програмування (МП) – математична дисципліна, що вивчає екстремальні задачі та розробляє методи їх вирішення.

У загальному вигляді задача МП полягає у визначенні найбільшого або найменшого значення функції мети

за умов

,

де b_i – деякі дійсні чила.

Якщо функція мети та обмеження є лінійні, то задача МП є задачою лінійного програмування (ЛП).

Задача ЛП в канонічній формі є наступною:

,

,

1.2. Побудова моделей задач мп

Прикладами моделей задач МП є задача виробничого планування, задача про розкрій, транспортна задача, задача про суміш.

Задача про розкрій.

Паперова фабрика випускає рулони шириною 2 м. За замовленнями постачаються рулони шириною 0.5, 0.7, 0,9 м. Наявні наступні замовлення:

№ замовл.	Потрібна ширина	Потрібна к-ть рулонів
1	0.5	150
2	0.7	200
3	0.9	300

Необхідно визначити такий спосіб розрізання рулонів, щоб кількість відходів була мінімальною.

Cформуємо варіанти розрізання:

Ширина	1	2	3	4	5	6	Мінімальна к-ть рулонів
0.5	0	2	2	4	1	0	150	y1
0.7	1	1	0	0	2	0	200	y2
0.9	1	0	1	0	0	2	300	y3
Втрати	0.4	0.3	0.1	0	0.1	0.2
	x1	x2	x3	x4	x5	x6

де: x_j - кількість стандартних рулонів, що розрізаються за допомогою j-го способу;

y_i - залишкова к-ть рулонів і-го типу.

0.4x₁+ 0.3x₂+ 0.1x₃+ 0x₄+ 0.1x₅+ 0.2x₆+ 0.5y₁ +0.7y₂ + 0.9y₃ Min

0 x₁+ 2 x₂+ 2 x₃ + 4x₄ + 1 x₅ + 0 x₆ - 150 = y₁

1 x₁+ 1 x₂+ 0 x₃ + 0x₄ + 2 x₅ + 0 x₆ - 200 =y₂

1 x₁+ 0 x₂+ 1 x₃ + 0x₄ + 0 x₅ + 2 x₆ - 300 =y₃

.

Визначення оптимального асортименту.

Наявно p видів ресурсів в кількостях та q видів виробів. Задана матриця , де характеризує норми витрат i-го ресурсу на одиницю k-го виробу (k=1,2,...,q).

Ефективніть випуску одиниці k-го виробу характеризується показником , що задовільняє умові лінійності.

Визначити план випуску виробів (оптимальний асортимент), при якому сумарна ефективність приймає найбільше значення.

Кількість одиниць k-го виробу, що випускається підприємством, позначимо . Тоді математична модель задачі має такий вигляд:

максимізувати

при обмеженнях

Крім обмеження за ресурсами, в модель можуть бути введені додаткові обмеження на плановий випуск продукції , умови комплектності для складання для усіх i, j, k та ін.

Оптимальне розподілення взаємозамінних ресурсів.

Наявно m видів взаємозамінних ресурсів , що використовуються при виконанні n різних робіт в об’ємах .

Задано числа , що вказують скільки одиниць j-ї роботи можна отримати з одиниці i-го ресурсу, а також - витрати при виготовленні одиниці j-го продукту з i-го ресурсу.

Необхідно розподілити ресурси за роботами таким чином, щоб сумарна ефективність була найбільшою (або сумарні затрати - найменшими).

Кількість одиниць i-го ресурсу, яка виділена для виконання робіт j-го виду, позначимо .

Математична модель задачі буде наступною:

мінімізувати

при обмеженнях

Перше обмеження означає, що план усіх робіт повинен бути виконаний повністю, а друге - що ресурси повинні бути використані повністю.

Задача про суміші.

Наявні p компонентів і = 1,2,...,р, при сполученні яких в різних пропорціях отримують різні суміші. До складу кожного компоненту, а відповідно і до суміші входить q речовин. Кількість k-ї речовини k = 1,2,...,q, що входить до складу одиниці і-го компоненту і до складу одиниці суміші, позначимо, відповідно і . Вважатимемо, що залежить від лінійно, тобто якщо суміш складається з одиниць першого компоненту; - одиниць другого компоненту і т.д., то .

Задано р значень , що характеризують ціну, масу або калорійність одиниці і-го компоненту і q величин , що вказують мінімально необхідний процентний склад k-ї речовини у суміші.

Необхідно визначити склад суміші, при якому сумарна характеристика (ціна, маса або калорійність) виявиться найкращою.

Позначимо через величину компоненту p-го виду, що входить до суміші.

Математична модель має такий вигляд:

мінімізувати

при умові

Умова означає, що процентний склад k-ї речовини і одиниці суміші повинно бути не менше величини .

До цієї ж моделі зводиться, наприклад, задача визначення оптимального раціону.

Задача про розкрій матеріалів.

На розкрій поступає m різних матеріалів. Необхідно виготовити з них k різних комплектів виробів в кількостях, пропорційних (умова комплектності).

Нехай кожна одиниця j-го матеріалу, j = 1,2,...,m, може бути розкроєна n різними способами, так що при використанні і-го способу розкрою, і = 1,2,...,n, вийде одиниць k-го виробу.

Визначити план розкрою, що забезпечує максимальну кількість комплектів, якщо відомо, що обсяг запасу j-го матеріалу рівний одиниць.

Кількість одиниць j-го матеріалу, що розкроюються і-тим способом, позначимо , а кількість комплектів виробів, що виготовляються - .

Математична модель задачі виглядає наступним чином:

максимізувати

при умовах

Перша умова означає обмеження запасу j-го матеріалу, а друга - умову комплектності.

Оптимальні балансові моделі.

Розглянемо n-галузеву балансову модель з постійними технологічними коефіцієнтами, що задаються матрицею затрат , де - затрати продуктів i-ї галузі на виробництво одиниці продукції j-ї залузі. Виробничі потужності i-ї галузі обмежують її валовий випуск величиною (і=1,...,n) і ціна остаточного продукту i-ї галузі складає .

Визначити оптимальний валовий випуск продукції кожної галузі, при якому буде досягнено максимальний сумарний випуск рстаточного продукту в грошовому представленні.

Позначимо вектор валової продукції усіх галузей , а вектор остаточного продукту . Тоді - обсяг продукту i-ї галузі, що йде на накопичення.

Між векторами X та Y існує наступний зв’язок: X = AX + Y — де AX — продукт, що витрачається на споживання.

Звідси Y = X [E-A], X = [E-A]^-1Y.

Математична модель задачі має вигляд:

максимізувати

при умовах .

Крім того, в задачі можуть бути додатково вказані обмеження, що накладаються на остаточні продукти, наприклад:

а) — умова комплектності;

б) - умова обмеженості випуску остаточного продукту.