2.4 Аналіз нечітких моделей технологічних процесів

За останні роки в науковій літературі з’явилося значне число робіт, що відображають розробку нечітких моделей різних промислових виробництв [27, 50, 68, 69].

Аналіз функціонування різних систем управління в промисловості, заснованих на нечітких моделях, показав, що їх ефективність в значній мірі визначається адекватністю нечітких моделей керованим об’єктам. Дане питання не знайшло свого рішення. Виняток становить робота [66], де розглядається адекватність нечітких систем в конструюванні нечіткого відношення, хорошого відображення, що володіє властивістю, і накладаються важко реалізовані обмеження на функції приналежності нечіткого відношення. В даній роботі ставиться мета дослідження адекватності нечітких моделей промислових виробництв.

Постановка завдання. Хай модельований технологічний процес визначається сукупністю нечітких множин (U) ={X_l...,X_n} на U і сукупності нечітких множин (V) = {Y_l ..., Y_n} на V; і при цьому

Х_i={(x, μ_Хi(x))}; Y_i={(y,μ_yi(y))},

де U і V – кінцеві вхідний і вихідний простори об’єкту моделювання.

Технологічний процес описується нечітким рівнянням

,

або

(2.85)

де R – нечітке бінарне відношення на .

Нечітке відношення R, представлене у вигляді сукупності керівників правив із структурою

ЯКЩО X_i ТO У_i; (2.86)

визначається як

або

μ_R(x, y) = max min{μ_xi(x), μ_yi(y)}

Тут – індивідуальне нечітке відношення, відповідне кожному правилу.

У рівнянні (2.85) R вважається відомим. Використання подібного нечіткого відношення показує, що оцінка отримана за (2.85), не співпадає з початковою нечіткою множиною іншими словами, R неточно відображає задані умовні логічні вислови (2.86).

Для оцінки адекватності нечіткої моделі (2.85) початковими нечіткими даними пропонується застосовувати критерій

(2.87)

що характеризує відхилення функцій приналежності початкових нечітких множин , що використовуються у формуванні нечіткого відношення R, від функцій приналежності нечітких множин , розрахованих за (2.85).

Неадекватність нечіткої моделі спостережуваним даним технологічного процесу (початковій нечіткій множині), в основному, пов’язана з неточним виконанням композиційного правила висновку в (2.85).

У справжній роботі ставиться завдання отримання умов, при яких строго виконується композиційне правило висновку, що забезпечує мінімальне значення критерію адекватності (2.87).

Умови адекватності нечіткої моделі. Задано

Якщо для кожного

, (2.88)

то композиційне правило висновку виконується строго, інакше приблизно.

Нижче сформулюємо теореми про строге виконання композиційного правила висновку, що визначають умови мінімізації критерію адекватності (2.87).

Теорема 2.9. Нехай матриця відношення R = (n= =1) регулярна.

Якщо нечіткі множини X і Y нормальні, то співвідношення (2.88) строго виконуються.

Доведення. Припустимо, що

Згідно теоремі Тонга [66], коли нечіткі множини X і Y нормальні і R регулярна, в матриці відношення R є такий стовпець x* і рядок у*, для яких

, (2.89)

або

. (2.90)

Оскільки для елементів матриці відношення R виконуються наступні співвідношення:

,

то

(2.91)

Оскільки

(2.92)

то, підставивши (2.89) в (2.92), з врахуванням (2.90) і (2.91) отримаємо

Теорема 2.10. Хай матриця відношення R нерегулярна, тобто де – регулярна матриця відношення. Якщо нечіткі множини нормальні і задовольняють умовам , то співвідношення (2.88) строго виконується.

Доведення. Припустимо, що

(2.93)

Матриця відношення R= нерегулярна, де

(2.94)

Згідно умовам теореми

(2.95)

Тоді з (2.94) із врахуванням (2.95) випливає, що

тому

отже, для всіх за виключенням

Враховуючи це в (2.93), отримуємо

Оскільки – нормальні нечіткі множини і – регулярні матриці відношення, згідно теоремі 1 співвідношення (2.88) строго виконується.

Розглянули тільки бінарне відношення, коли об’єкт характеризується одним входом і одним виходом. Отримані результати справедливі і для багатовимірного технологічного виробництва, якщо правила мають вкладену структуру. Результати цих теорем використовують при побудові нечіткої моделі установки первинної переробки нафти, яка була закладена в основу АСОВІ ТП, упровадженою на Ново-бакинському нафтопереробному заводі ім. Володимира Ілліча. Результати практично реалізовуються і нечітка модель, побудована з урахуванням вимог цих теорем, дає адекватний технологічний режим.