6.4. Проблеми страхового запасу

Як було показано вище, матеріальні запаси служать для того, щоб згладити безпосередню залежність між динамікою виробництва продукції і її споживанням. Наявність запасів дозволяє налагодити виробництво продукції оптимальними партіями, а також визначити оптимальні партії поставок по кожному продукту.

Матеріальний запас – це демпфер, що згладжує залежність споживача від можливих коливань випуску продукції, що послаблює залежність виробничого процесу постачальника від нерівномірностей споживання цієї продукції споживачами; запаси згладжують залежність окремих цехів, робочих місць і т.д. один від одного. Завдяки створенню запасів проходить вирівнювання виробничих процесів, і їх здешевлення. Запаси роблять систему більш стійкою, вони створюють необхідні посилання для створення неперервності розширеного виробничого процесу. Процеси запасання в загальнодержавних масштабах в деякому змісті ідентичні процесам накопичення при розширеному виробництві.

З точки зору затримок функціонування системи важливе не просто безумовне (100%), безперервне постачання продукцією. При такому постачанні потрібно б було мати дуже великі запаси. Виникає задача визначення оптимального рівня запасів. Оптимальний рівень запасів складається з економічно оптимальної партії поставки плюс деякий страховий запас. Необхідність страхового запасу диктується випадковими явищами, які органічно наявні в будь-якій системі матеріально-технічного постачання.

Нехай – випадкова величина з заданим законом розподілу і cкінченим математичним сподіванням . Якщо величину партії надходження визначати за формулою Уілсона , то період повторення замовлень становить . Але так як попит – величина випадкова, то приблизно в 50% випадків буде спостерігатися дефіцит. Для гарантії від випадкових коливань в попиті або інших непередбачених ситуацій в системі необхідно мати деякі додаткові страхові запаси. При достатньо великому рівні страхового запасу практично можна досягнути бездефіцитного постачання. Але при цьому можливі значні витрати від іммобілізації засобів в запасах. При малому страховому запасі можливі втрати від дефіциту. Позначимо через ймовірність того, що потреби в інтервалі перебільшать наявний запас (коефіцієнт ризику),тобто ймовірність того, що величина фактичної потреби буде більша ніж сума страхового запасу і партії надходження .

. (5.1)

Щоб знайти , необхідно знати розподіл випадкової величини .

Нехай випадкова величина має нормальний розподіл з математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням . Як відомо, що функція густини ймовірності при цьому буде мати вигляд

.

В якості випадкової величини введемо відхилення випадкової змінної від її математичного очікування , висловленого в середньоквадратичному відхиленні

. (5.2)

Задача при цьому полягає в тому, щоб знайти таке значення (5.2) , для якого справедлива рівність

. (5.3)

Значення , яке задовольняє рівності (5.3),можна знайти з таблиць нормального розподілу. З рівнянь (5.1) і (5.2) випливає, що величина страхового запасу, відповідно рівню обслуговування , повинна задовольняти рівність

.

Наприклад, при , тобто при коефіцієнт ризику ; при ; при

Таким чином, при нормальному розподілі величину страхового запасу повністю визначають заданий коефіцієнт обслуговування, тобто ймовірність того, що заданий рівень запасу практично буде достатнім.

Враховуючи рівність (5.4), середній рівень запасу, який задовольняє потреби з ймовірністю , висловиться формулою

.

2.Нехай випадкова величина попиту розподілена за законом Пуасона. Функція густини ймовірності при розподілі за цим законом має вигляд

.

Можна показати, що якщо , то розподіл за законом Пуасона зводиться до особливого виду нормального розподілу з математичним очікуванням і середньо квадратичним відхиленням .

Тому величина страхового запасу становить

.

3.Розглянемо випадок рівномірного розподілу попиту. Як відомо, розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, функція розподілу випадкової величини має стале значення. Нехай і відповідно максимальне і мінімальне значення випадкової величини . Так як

то

Математичне очікування рівномірно розподіленої випадкової величини рівне

.

Величина страхового запасу визначається з рівності (5.1). Знайдемо її в явному виді. Нехай – величина споживання з заданою ймовірністю . Так як – це ймовірність того, що створений страховий запас буде недостатнім, то

і, відповідно,

тобто при рівномірному розподілі ймовірностей розмір страхового запасу прямо пропорційний різниці між максимально і мінімально можливою потребою.

4.Встановимо зв’язок між коефіцієнтом ризику і окремими затримками функціонування системи. Позначимо через окремі затримки дефіциту. Мінімізуємо математичне очікування сумарних затримок, пов’язаних з зберіганням запасу і можливими втратами від дефіциту:

.

Оптимальне значення знаходимо з виразу (5.5), розв’язуючи рівняння

, (5.6)

звідси

Відзначимо, що це ймовірність того, що , але , отже,

.

Таким чином, з рівняння (5.6) отримуємо

,

звідси

. (5.7)

Знаючи і , із формули (5.7) можна визначити допустимий коефіцієнт ризику. В свою чергу, вираз (5.7) може застосовуватись для оцінки втрат від дефіциту.