6.3. Стохастичні моделі управління запасами

Всю різноманітність стохастичних моделей управління запасами можна розділити на статистичні і динамічні. Статистичні моделі використовуються в тому випадку, коли застосовується одноразовий розв’язок про поповнення запасів, наприклад в випадку створення квартальних запасів. Хоча статистичні моделі зустрічаються на практиці, та вони не застосовуються так широко, як динамічні. Однак, окрім безпосереднього практичного застосування, статистичні моделі є основою побудови стохастичних моделей.

Суттєва особливість моделей полягає в тому, що функціонування системи розглядається тільки на одному проміжку часу, протягом якого робиться одне замовлення на збільшення запасів.

Нехай випадкова величина попиту протягом розглядуваного періоду, — густина розподілу ймовірностей випадкової величини . Так як в детермінованих моделях, — величина поставки, — витрати пов’язані з одиницею збиткової продукції, — витрати, що викликані нестачою одиниці продукції.

Якщо виходити з врахування тільки витрат на зберігання і втрати від дефіциту, то оптимальну величину поставки можна знайти виходячи з наступних роздумів. Оптимальний рівень квартального запасу визначається виходячи із співвідношення між витратами, які виникають в результаті збільшення рівня на додаткову одиницю. Якщо рівень крок за кроком збільшувати, то ймовірність передчасного вичерпання запасів буде зменшуватися, внаслідок чого зменшаться очікувані витрати через дефіцит. Але із збільшенням запасів почне збільшуватися ймовірність того, що з’являться збиткові запаси, тобто очікувані витрати, які пов’язані з збитковими запасами, збільшаться. Існує такий рівень запасу , при якому затримки, пов’язані з його збільшенням на одиницю, зрівноважуються з економією, пов’язаною з зменшенням дефіциту. Цей рівень є оптимальним. Зміна рівня запасів від в будь-якому напрямку приведе до додаткових витрат. Нехай

інтегральна функція розподілу попиту за розглядуваний квартал. Очевидно, , тобто це ймовірність того, що попит за сезон не перевищить рівень . При зменшенні рівня запасу на одиницю ми отримаємо економію від зберігання

(4.1)

При збільшенні рівня запасу на одиницю отримаємо економію від зменшення дефіциту

(4.2)

Оптимальний рівень визначається із співвідношення

(4.3)

Звідси

(4.4)

До цього результату можна прийти, якщо математичне очікування сумарних затримок

. (4.5)

Оптимальне значення в формулі (4.4) визначається з рівняння¹

(4.6)

Деколи затримки зберігання запасів зручно вважати пропорційними початковому рівню запасу, тобто

Звідси, використовуючи правило (4.7), отримаємо

(4.8)

Аналогічно розв’язується задача визначення величини квартальної поставки в випадку оцінення якості роботи системи по критерію прибутку. Нехай продаж кожної одиниці продукції дає прибуток , якщо ж продукція не реалізована, то на кожній одиниці продукції втрачається гр.од. Позначимо через ймовірність того, що попит не перевищує одиниць. Очевидно,

.

Нехай, крім того, затримки організації замовлення не залежать від величини партії поставки. Тоді очікуваний прибуток від -ої одиниці становлять

. (4.9)

Збільшення партії поставки повинно відбуватися до доти, доки -а одиниця дає прибуток, тобто

. (4.10)

Звідси

.

З збільшенням ймовірність збільшується. Але ріст має ціль до того часу, поки Звідси висновок: величина партії поставки може набувати таке максимальне значення, при якому ймовірність того, що попит не перевищить цієї величини, буде рівною , тобто прибутковою є кожна одиниця, для якої виконується ще умова (4.10).

Введемо в функціонал мети (4.5) затримки, що відображають витрати на підготовчо-заключні операції, пропорційні величині партії поставки. Отримаємо

.

Звідси, розв’язуючи рівняння , отримаємо умову для оптимальної величини партії поставки

. (4.11)

Розглянемо деякі дискретні статичні моделі, що представляють практичний інтерес.

Нехай —ймовірність того, що протягом розглянутого кварталу потрібно одиниць продукції. Позначимо через — збитки, завдані підприємству відсутністю потрібної одиниці продукції, через —вартість одиниці цієї продукції. Припускається, що для невикористання протягом кварталу продукція повністю обесцінюється. Тоді затримки функціонування можна представити в виді

, (4.12)

де — математичне сподівання того, що попит перевищить партію .

Для знаходження оптимального значення знайдемо функцію

.

Оптимальне значення можна знайти з умови

(4.13)

З виразу (4.13) для оптимального значення знаходимо умову

. (4.14)

Припустимо, що можлива реалізація невикористаної протягом кварталу продукції ціною . Тоді затримки запишуться в виді

. (4.15)

Якщо оптимальне значення величини партії, то воно задовольняє умову (4.13), яка в явному вигляді записується так:

Звідси

. (4.16)

Розглянемо декілька багатопродуктових статичних моделей. Нехай об’єми попитів на різних типів товарів є незалежними випадковими величинами з заданими густинами ймовірностей . Різні номенклатури можуть взаємодіяти один з одним через загальні обмеження, які накладені на величину засобів, що вкладені а запаси.

В якості цільової функції візьмемо суму затримок на зберігання, транспортування і втрати від дефіциту.

(4.17)

при обмеженнях

(4.18)

де — ціна одиниці продукції го виду;

— верхня границя засобів, вкладених в запаси.

Задачу можна розв’язати методом невизначених множників Лагранжа.

.

Так як то має задовольняти системі рівнянь:

або після перетворень

(4.19)

В простому вигляді така задача відома під назвою задача "про ранець для походів", або задача "про рюкзак".

В задачі "про рюкзак" потрібно мінімізувати затримки дефіциту при заданих обмеженнях на ємність :

Оптимальні значення в цьому випадку можна з системи рівнянь знайти:

(4.20)

Для рішення системи (4.20) виберемо деяке і з першого рівняння системи знайдемо . Обчислимо для знайдених значень . Якщо , то збільшимо, якщо , то зменшимо і процедуру повторимо. Якщо можуть приймати тільки дискретні значення, то задачу розв’язують методом динамічного програмування.