Модель з допустимістю дефіциту

Динаміка зміни запасів в такій моделі показана на рис.14. Позначимо через і відповідно час зберігання запасу і час дефіциту. При цьому затримки зберігання запасів становлять:

. (3.31)

Позначимо через окремі затримки дефіциту, тоді втрати від дефіциту становлять:

. (3.32)

Для визначення , і запишемо систему рівнянь

(3.33)

розв’язавши яку отримаємо

(3.34)

Рис.14

Враховуючи формули (3.31), (3.32) і (3.34), запишемо повні витрати за цикл, зв’язані з замовленням, складом запасів і втратами від дефіциту:

Звідси затримки за одиницю часу становлять

(3.35)

Значення оптимальної партії доставок знаходяться з рівняння ,

. (3.36)

Інші параметри моделі, що відповідають оптимальній партії поставки, будуть мати вигляд:

(3.37)

— максимальний рівень поточного запасу.

Порівнюючи формули (1.7 п. 5.1.3) з формулою (1.6 п. 5.1.1), легко побачити, що за рахунок розумного компромісу між витратами на зберігання і втратами від дефіциту можна досягнути зниження загальних витрат моделі з дефіцитом в раз по відношенню до класичної моделі Уілсона.

При високому штрафі за дефіцит можна припустити .

Узагальнена однопродуктова модель оптимальної партії поставки

Зміна поточного запасу в такій моделі і зміст видно з рис.15

Як і в моделі п.3.3, очевидно, затримки зберігання визначаються величиною , помноженою на площу трикутника .

. (3.38)

Втрати від дефіциту дорівнюють величині , помноженій на площу трикутника .

. (3.39)

Отже, . З іншого боку, максимальна величина запасів повністю витрачається протягом часу , тому .

Звідси

. (3.40)

Рис.15.

Протягом часу дефіцит зростає із швидкістю, яка дорівнює інтенсивності попиту: . З іншого боку, протягом часу , інтенсивність дорівнює , а попит залишається незмінним, так що різниця виражає чисту швидкість ліквідації дефіциту. Тому .

(3.41)

Окрім того,

. (3.42)

Отже, при визначенні отримуємо систему рівнянь:

(3.43)

Розв’язок системи рівнянь дає

(3.44)

Підставляючи значення (3.44) в суму затримок

отримаємо затримки за одиницю часу

(3.46)

Оптимальну величину партії поставки можна знайти з рівняння . Звідси отримаємо

(3.47)

Якщо в формулі (3.47) припустити, що і , то отримаємо формулу Уілсона.

Модель з втратою незадоволених потреб

В моделях пп. 3.3—3.4 припускалось, що за час відсутності запасів попит споживачів збільшується. І незважаючи на виплату штрафу за відсутність кожної одиниці продукції за одиницю часу, завдяки прибуванню чергової партії збільшений попит задовольняється повністю. Динаміка зміни рівня запасу в моделі з втратою незадоволених потреб показана на рис.7.

Нехай — тривалість циклу. Затримки незадоволених потреб будемо вважати пропорційними середній величині дефіциту і часу його існування. При таких припущеннях затримки функціонування системи за одиницю часу становлять:

Так як

і , то

. (3.48)

Для знаходження оптимальних значень і розв’яжемо систему рівнянь

Рис.16.

(3.49)

Після перетворень система (1.2) буде мати вигляд

Її рішення дає:

При високій інтенсивності збільшення запасу модель з втратою незадоволених потреб набуде вигляду