Однопродуктова n-етапна динамічна модель.

В цій моделі припускається, що, хоча й попит достовірно відомий, він може змінюватися від етапу до етапу. Рівень запасу контролюється періодично. Хоч запізнення надходження (висловлене через фіксоване число періодів) припускається, в моделі вважається, що збільшення запасу проходить миттєво на початку етапу. Нарешті, дефіцит не допускається.

Побудова динамічної детермінованої моделі зводиться до дослідження скінченого горизонту часу. Це пояснюється тим, що для отримання цифрового розв’язку відповідних задач потрібно використовувати метод динамічного програмування, який в даному випадку можна практично застосовувати на скінченій кількості етапів. Однак це не є важливою перешкодою, так як попит в віддаленому майбутньому суттєво не впливає на рішення, прийняті для розглядува ного кінцевого горизонту часу. Крім цього, як правило, не має сенсу припускати, що продукція буде зберігатися в запасі безмежно.

Визначимо для етапу , наступні величини:

— кількість замовленої продукції (розмір замовлення);

— потреба в продукції (попит);

— вихідний запас (на початок етапу );

— витрати на зберігання одиниці запасу, що переходить з етапу в етап ;

— витрати на оформлення замовлення;

— функція граничних витрат, пов’язаних з закупівлею (виробництвом) при заданому значенні .

Нехай де

Функція становить інтерес тільки тоді, коли витрати на покупку одиниці продукції змінюються з часом або існують розриви ціни.

Так як дефіцит не допускається, то потрібно знайти оптимальне значення , мінімізувавши загальні витрати на оформлення замовлень, купівлі і зберігання на всіх етапах. Витрати на зберігання вважаються пропорційними величині яка являє собою об’єм запасу, що переходить з етапу в етап . В результаті витрати на зберігання на етапі дорівнюють .Це вводиться виключно з метою спрощення, так як модель можна узагальнити на випадок довільної функції витрат замінивши на . Аналогічно для оцінення витрат на зберігання можна використати величини або .

Побудова моделі динамічного програмування спрощується, коли представити задачу схематично, як показано на мал. нижче. Кожен етап відповідає одному кроку. Використовуючи зворотнє рекурентне рівняння, визначимо стан системи на кроці як об’єм вихідного запасу .

Нехай —мінімальні витрати на етапах . Рекурентне рівняння має вигляд

Пряме рекурентне рівняння можна отримати, визначивши стан на кроці як об’єм запасу на кінець етапу . На мал. ці стани задані величинами . На будь-якому кроці на величини накладені наступні обмеження:

Таким чином, в граничному випадку об’єм замовленої продукції на етапі може бути настільки великий, що запас задовольняє попит на всіх наступних етапах.

Нехай —мінімальні загальні витрати на етапах при заданій величині запасу на кінець етапу . Тоді рекурентне рівняння буде мати вигляд

Пряма і зворотня постановки задачі з обчислюваної точки зору еквівалентні. Але, як буде показано нижче, прямий алгоритм більш ефективний при аналізі важливого часткового випадку розглянутої вище моделі. Через цю причину в наведеному прикладі для ілюстрації обчислюваної процедури використовується прямий алгоритм.

Приклад 4. Розглянемо трьохетапну систему управління запасами з дискретною продукцією і динамічним детермінованим попитом. Вихідні дані задачі наступні:

Період	Попит , од.	Витрати на оформ-лення замовлення , Грн.	Витрати на зберігання , Грн.
1 2 3	3 2 4	3,00 7,00 6,00	1,00 3,00 2,00

Вихідний запас для етапу 1 дорівнює 1 од. Припускається, що граничні витрати на придбання продукції становлять 10 Грн. за кожну одиницю часу для перших трьох одиниць і 20 Грн. для кожної додаткової одиниці. Тоді

Результати покрокових обчислень для прямого алгоритму наступні.

_{Крок 1:}

									Оптимальний розв’язок
			3	4	5	6	7	8
			33	53	73	93	113	133
0 1 2 3 4 5 6	0 1 2 3 4 5 6	23	34	55	76	97	118	139	23 34 55 76 97 118 139	2 3 4 5 6 7 8

Так як , мінімальне значення дорівнює

Крок 2:

									Оптимальний розв’язок
			1	2	3	4	5	6
			17	27	37	57	77	97
0	0	0+55= 55	17+34=51	27+23=50					50	2
1	3	3+76= 79	20+55=75	30+34=64	40+23=63				63	3
2	6	6+97= =103	23+76=99	33+55=88	43+34=77	63+23=86			77	3
3	9	9+118= =127	26+97= =123	36+76= =112	46+55= =101	66+34= =100	86+23= =109		100	4
4	12	12+139==151	23+118= =147	39+97= =136	49+76= =125	69+55= =124	89+34= =123	109+23= =132	123	5

Крок 3:

							Оптимальний розв’язок.
			1	2	3	4
			16	26	36	56
0	0	0+123==123	16+100==116	26+77==103	36+63= =99	56+50= =106	99	3

Розв’язок визначається наступними значеннями шуканих змінних: і , загальні витрати становлять 99 Грн.