Однопродуктова статична модель з “розривами” цін.

В попередніх моделях не враховуються окремі витрати на придбання товарів, так як вони сталі і не впливають на рівень запасу. Однак часто ціна одиниці продукції залежить від розмірів закупленої партії. В таких випадках ціни міняються стрибкоподібно або надаються гуртові знижки. При цьому в моделі управління запасами необхідно враховувати витрати на придбання.

Розглянемо модель управління запасами з миттєвим збільшенням запасу при відсутності дефіциту. Припустимо, що ціна одиниці продукції дорівнює при і рівна при , де і —розмір замовлення, при перевищенні якого надається знижка. Тоді сумарні витрати за цикл незважаючи на затримки оформлення замовлення і зберігання запасу повинні включати затримки придбання.

Сумарні витрати в одиницю часу при становлять

, при ці витрати становлять

.

Графіки цих двох функцій наведені на рис. 6.8.

Нехтуючи впливом зниження цін, позначимо через розмір замовлення, при якому досягається мінімум величин і . Тоді .

Рис. 6.8

З вигляду функцій витрат і випливає, що оптимальний розмір замовлення залежить від того, де по відношенню до трьох показаних на рисунку зон І, ІІ і ІІІ знаходиться точка розриву ціни . Ці зони знаходяться наступним чином: Зона І: ; Зона ІІ: ; Зона ІІІ: .

На рис. 6.9 – 11 наведене графічне рішення рівняння для розглянутого випадку, яке залежить від того, де знаходиться відносно зон І, ІІ і ІІІ. В результаті оптимальний розмір замовлення визначається наступним чином:

Алгоритм визначення відображається наступним чином:

1. Визначити . Якщо (зона І), то і алгоритм закінчений. В іншому випадку перейти до кроку 2.

2. Визначити з рівняння і встановити, де відносно зон ІІ і ІІІ знаходиться значення .

а. Якщо (зона ІІІ), то .

б. Якщо (зона ІІ), то .

Рис. 6.9

Рис. 6.10

Рис. 6.11

Випадок 1: потрапляє в зону І, .Випадок 2: потрапляє в зону ІІ, . Випадок 3: потрапляє в зону ІІІ, ).

Приклад 3. Розглянемо модель управління запасами при наступних вихідних даних: $., $., , $., $ і од. Обчислимо спочатку значення :

од.

Оскільки , необхідно визначити де знаходиться : в зоні ІІ або ІІІ. Значення знаходиться з рівняння або

В результаті підстановки отримуємо або

Звідси отримуємо або За визначенням в якості обирається більше значення. Так як , величина знаходиться в зоні ІІ. Таким чином, од. Сумарні витрати за одиницю часу визначаються наступним чином:

$/день.

Багатопродуктова статична модель з обмеженнями на ємність складських приміщень

Ця модель призначена для системи управління запасами, яка містить видів продукції, що зберігається на одному складі з обмеженою площею. Дана умова визначає взаємозв’язок між різними видами продукції і може бути включена в модель як обмеження.

Нехай А — максимальна припустима площа приміщення для складу для видів продукції; припустимо, що площа, необхідна для зберігання одиниці продукції ого виду, становить . Якщо —розмір замовлення на продукцію ого виду, то обмеження на споживання в складі мають вигляд

Припустимо, що запас продукції кожного виду поповнюється миттєво і знижки на ціни відсутні. Припустимо далі, що дефіцит не допускається. Нехай , і — інтенсивність попиту, витрати на оформлення замовлення і витрати на зберігання одиниці продукції за одиницю часу для ого виду продукції відповідно. Загальні витрати по продукції кожного виду, по суті, будуть таким самими, що і в випадку еквівалентної однопродуктової моделі. Таким чином, розглянута задача має вигляд

мінімізувати

при , для всіх .

Загальний розв’язок цієї задачі знаходиться за допомогою методу множників Лагранжа. Але, перед тим як застосовувати цей метод, необхідно встановити, чи діє вказане обмеження, перевіривши виконання обмеження на площу складу для розв’язку необмеженої задачі. Якщо обмеження виконується, то воно зайве, і ним можна знехтувати.

Обмеження діє, якщо воно не виконується для значень . В такому випадку потрібно знайти нове оптимальне значення , що задовольняє обмеження на площу складу в вигляді рівності. Цей результат досягається побудовою функції Лагранжа виду де —множник Лагранжа.

Оптимальне значення і можна знайти, прирівнявши до нуля відповідні часткові похідні, що дає

З другого рівняння випливає, що значення має задовільняти обмеження на площу складу в вигляді рівності.

З першого рівняння випливає, що

Відзначимо, що залежить від оптимального значення множника . Крім того, при значення є розв’язком задачі без обмеження.

Значення можна знайти методом систематичних проб і помилок. Так за визначенням в поставленій вище задачі мінімізації , то при послідовній перевірці від’ємних значень знайдене значення буде одночасно визначати значення , які задовільняють задане обмеження в вигляді рівності. Таким чином, в результаті визначення автоматично отримуються значення .

Приклад 4. Розглянемо задачу управління запасами для випадку трьох видів продукції , вихідні дані якої наведені в таблиці.

Вид продукції, і	,$	, од.	, $
1 2 3	10 5 15	2 4 4	0,3 0,1 0,2	1 1 1

Припустимо, що загальна площа складу становить

Виходячи з формули побудована наступна таблиця

0 -0,05 -0,10 -0,15 -0,20 -0,25 -0,30	11,5 10,0 9,0 8,2 7,6 7,1 6,7	20,0 14,1 11,5 10,0 8,9 8,2 7,6	24,5 17,3 14,9 13,4 12,2 11,3 10,6	+31 +16,4 +10,4 +6,6 +3,7 +1,6 -0,1

При обмеження на складську площу задовольняється в виді рівності при деякому значенні , що лежить між -0,25 і -0,3. Це значення рівне , і його можна оцінити з допомогою лінійної інтерполяції. Відповідні значення визначають значення . Оскільки з таблиці видно, що значення дуже близьке до -0,3, то оптимальне значення приблизно дорівнюють

Якщо , то значення без врахування обмеження, відповідні , визначають . В цьому випадку обмеження надлишкове.