6.2. Детерміновані моделі управління запасами

Однопродуктова статична модель

Модель управління запасами простого типу характеризується сталим у часі попитом, миттєвим збільшенням запасу і відсутністю дефіциту.

На рис. 6.3 показано зміну рівня запасу з часом. Припускається, що інтенсивність попиту (в одиницю часу) дорівнює .

Рис. 6.3

Найвищого рівня запас досягає в момент постачання замовлення розміром . (Припускається, що запізнення постачання є заданою константою). Рівень запасу досягає нуля протягом одиниць часу після отримання замовлення розміром .

Чим менший розмір замовлення , тим частіше потрібно розміщувати нові замовлення. Однак при цьому середній рівень запасу буде зменшуватися. З іншого боку зі збільшенням розміру замовлень рівень запасу збільшується, але замовлення розміщуються рідше (рис. нижче). Так як витрати залежать від частоти розміщення замовлення й об’єму запасу, що зберігається, то величина обирається згідно до умови забезпечення оптимального балансу між двома видами витрат. Це лежить в основі побудови відповідної моделі управління запасами.

Нехай K — витрати на оформлення замовлення, що мають місце щоразу при його розміщенні в припущенні, що витрати на зберігання одиниці замовлення в одиницю часу рівні h .

Рис. 6.4

Отже, сумарні витрати в одиницю часу як функцію від y можна представити у вигляді

=Витрати на оформлення замовлення за одиницю часу +Витрати на зберігання запасів за одиницю часу

Як видно з рис. 6.4, тривалість циклу руху замовлення складає і середній рівень запасу становить .

Оптимальне значення отримується в результаті мінімізації по . Таким чином, у припущенні, що неперервна змінна, отримуємо , звідки оптимальне значення розміру замовлення визначається виразом .

(Можна довести, що відповідає мінімуму , показавши, що друга похідна в точці строго додатна). Отриманий вище вираз для розміру замовлення зазвичай називають формулою економічного розміру замовлення Уілсона.

Оптимальна стратегія моделі передбачає замовлення через кожні одиниць часу. Оптимальні витрати , отримані шляхом безпосередньої підстановки, складають .

Рис. 6.5

Для більшості реальних ситуацій існує (позитивний) термін виконання замовлення (тимчасове запізнення) від моменту розміщення замовлення до його дійсної поставки. Стратегія розміщення замовлень у наведеній моделі повинна визначати точку відновлення замовлення. Рис. 6 ілюструє випадок, коли точка відновлення замовлення повинна випереджати на одиниць часу очікуване надходження. У практичних цілях цю інформацію можна просто перетворювати, визначивши точку відновлення замовлення через рівень запасу, який відповідає моменту відновлення замовлення. На практиці це реалізується шляхом безперервного контролю рівня запасу до моменту досягнення чергової точки відновлення замовлення. Можливо, з цієї причини модель економічного розміру замовлення деколи називають моделлю неперервного контролю стану замовлення. Потрібно відзначити, що з точки зору аналізу в умовах стабілізації системи термін виконання замовлення можна завжди прийняти меншим за тривалість циклу . Справедливість цього положення підтверджується наступним прикладом.

Приклад 1. Щоденний попит на деякий товар складає близько 100 од. Витрати на розміщення кожного замовлення сталі й рівні 100$. Щоденні витрати на зберігання одиниці запасу становлять 0,02$. Потрібно визначити економічний розмір партії й точку замовлення при терміні виконання замовлення, що дорівнює 12 днів.

З наведених вище формул для економічного розміру партії отримуємо од.

Відповідна оптимальна тривалість циклу складає

днів.

Оскільки термін виконання замовлення дорівнює 12 днів і тривалість циклу складається з 10 днів, відновлення замовлення відбувається, коли рівень запасу достатній для задоволення попиту на два (=12-10) дні. Таким чином замовлення розміром розміщується, коли рівень запасу досягає одиниць.

Потрібно відзначити, що “ефективний” термін виконання замовлення приймається рівним 2, а не 12 дням. Це пояснюється тим, що цей термін більший, ніж . Однак після стабілізації системи (у цьому прикладі вона досягається за два цикли) можна вважати, що термін виконання замовлення рівний при . В описаних умовах у будь-який момент часу є більше ніж одне розміщене, але ще не виконане замовлення.

Прийняті в розглянутій вище моделі припущення можуть не відповідати деяким реальним умовам унаслідок імовірнісного характеру попиту. На практиці отримав розповсюдження наближений метод, який зберігає простоту моделі економічного розміру замовлення і в той же час у якійсь мірі враховує імовірнісний характер попиту. Ідея методу надзвичайно проста. Вона передбачає створення деякого (постійного) буферного запасу на всьому горизонті планування. Розмір резерву визначається таким чином, щоб імовірність зменшення запасу протягом періоду виконання замовлення не перевищувала наперед заданої величини. Припустимо, що — щільність розподілу ймовірності попиту протягом цього терміну. Надалі припустимо, що ймовірність зменшення запасу протягом періоду не повинна перевищувати . Тоді розмір резервного запасу визначиться з умови , де є споживання протягом часу . Зміна запасу при наявності резерву показана на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Приклад 2. Припустимо, що попит у попередньому прикладі у дійсності є апроксимацією випадкової ситуації, при якій щоденний попит розподілений нормально із середнім і середнім квадратичним відхиленням . Визначимо розмір резервного запасу таким чином, щоб імовірність зменшення запасу протягом терміну виконання замовлення не перевищувала 0,05.

В прикладі 1 цей термін дорівнює 2 дні. Так як щоденний попит розподілений нормально, запізнення попиту також має нормальний розподіл з середнім одиниць і середнім квадратичним відхиленням . На рис. 7 наведена залежність між розподілом і розміром резерву .

Таким чином маємо ,

, або .

З таблиць нормального розподілу отримуємо або .

Рис. 6.7

У прикладі цікавим є той факт, що не залежить від .Цей результат є очікуваним, так як визначаючим фактором є середнє квадратичне відхилення. Дійсно, якщо середньоквадратичне відхилення, рівне нулю (детермінований випадок), розмір резервного запасу повинен бути нульовим.

Немає причин припускати, що загальний результат використання процедур визначення й економічного розміру замовлення обов’язково оптимальний або близький до оптимального. Відхилення від оптимуму пояснюється тим, що напочатку деяка суттєва інформація не враховується, а потім використовується зовсім неявно на останньому етапі обчислень. По суті витрати на зберігання резерву можна розглядати просто як деяку “ціну” за те, що вся наявна інформація у процесі аналізу одночасно не використовується.

Різновиди моделей економічного розміру замовлення (партії) допускають можливість дефіциту і рівномірного (а не миттєвого) збільшення запасу. Останній випадок є типовим для виробничих систем, в яких інтенсивність збільшення є функцією інтенсивності виробництва. В цих ситуаціях у моделях управління запасами, як і раніше, співставляються витрати на зберігання запасів і оформлення замовлень. В функцію сумарних витрат включаються також втрати від дефіциту, якщо він має місце. В загальному випадку втрати від дефіциту припускаються пропорційними середній величині дефіциту.