5.6. Прийняття рішень в умовах невизначеності

Задачі прийняття рішень в умовах невизначеності близькі за ідеями та методами до теорії ігор, основною відмінністю є відсутність конфліктного забарвлення — ніхто нікому не протидіє, але наявний елемент невизначеності.

Таким чином невідомі умови операції залежать не від свідомого суперника, а від об’єктивної реальності — “природи”, яка є байдужою інстанцією. Поведінка природи невідома але не протидіюча. Зовнішньо при наявності стратегій гравця та природи гра з природою представляється матрицею, але відсутність протидії робить ситуацію якісно іншою.

Найпростішим випадком є такий, коли одна зі стратеґій гравця А домінує всі інші його стратеґії — зрозуміло, що вона буде найкращою. Але не природи — гравця П (йому все одно, яку стратеґію обирати). Таким чином, вибір можна звузити, виключивши з розгляду всі доміновані та еквівалентні стратеґії.

Окрім того, бажано ввести такі показники, які б не просто давали виграш при даній стратеґії в кожній ситуації, але й відображали б “вдалість” або “невдалість” вибору тієї чи іншої стратеґії в конкретній ситуації. З цією метою вводиться поняття ризику, як різницею між виграшем, який можна було б отримати, якщо б ми знали умови природи — її стратеґію П_j, та виграшем, який ми отримаємо, не знаючи їх та обираючи стратегію А_і, , де .

Приклад 7. Задана матриця гри з природою. Необхідно побудувати матрицю ризиків та обрати найкращу стратеґію.

Матриця ризиків буде

Розглядаючи матрицю “ризиків”, зрозумілішими стають деякі риси гри з природою. Так, в другому рядку перший та останній елементи матриці виграшів рівні 3. Однак ці виграші нерівноцінні в сенсі вдалого вибору стратеґії: при стані природи П₁ ми могли виграти найбільш 4 одиниці, і вибір А₂ для цієї ситуації майже добрий. За умови стану П₄ природи натомість ми могли б, обравши А₁, отримати на 6 одиниць більше, тобто вибір А₂ для цієї ситуації є поганим. Ризик — це по суті плата за відсутність інформації, і тому, звичайно, бажано би було мінімізувати ризик, що супроводжує вибір рішення. Таким чином, маємо 2 постановки задачі — в одній необхідно отримати максимальний виграш, а в іншій — мінімізувати ризик.

Найпростішим випадком невизначеності є “доброякісна” стохастична невизначеність. В цьому випадку стани природи характеризуються ймовірностями їх виникнення , і оптимальною стратеґією А_k буде та, для якої (критерій . Відповідний критерій для ризику у випадку стохастичної невизначеності . Для прикладу якщо р=(0.5, 0.2, 0.2, 0.1), то Q(A₁)=0.5*1+0.2*4+0.2*5+0.1*9=3.2, Q(A₂)=0.5*3+0.2*8+0.2*4+0.1*3=4.2, Q(A₃)=0.5*4+0.2*6+0.2*6+0.1*2=3.6, і оптимальною буде стратеґія А₂.

Нехай тепер ймовірності природи існують, але невідомі нам.

Згідно до критерію Лапласа всі стани природи вважаються рівноймовірними. Однак застосовувати його в більшості випадків не рекомендується, оскільки а багатьох випадках апріорі більш-менш відомо, як відрізняються ймовірності. В цьому випадку, якщо є можливість, необхідно провести експертне опитування, абож спробувати накопичити інформацію в результаті проведення декількох ігор з природою. Згідно до критерію Лапласа в прикладі рівноцінними є стратеґії А₁ та А₂.

Якщо ж невизначеність “погана”, якщо ймовірностей природи взагалі не існує, або ж вони не піддаються навіть приблизній оцінці, то в залежності від позиції дослідника застосовуються наступні критерії.

Максимінний критерій Вальда В. Згідно до цього критерія гра з природою ведеться як гра з аґресивним та розумним суперником, і обирається стратеґія з індексом k, для якої . Це є позиція скрайнього песимізму, і по відношенню до природи є перестраховочною.

Критерій мінімального ризику Севіджа С. Цей критерій є теж вкрай песимістичним, але при виборі оптимальної стратеґії орієнтує на мінімальний ризик. В якості оптимальної стратеґії обирається така з індексом k, для якої величина ризику в найгірших умовах мінімальна — .

Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца H. Цей критерій рекомендує при виборі розв’язку не орієнтуватися ні на песимізм, ані на оптимізм, і має вигляд , де — коефіцієнт песимізму, коли рівний 1 — Гурвіца, 0 — скрайнього оптимізму .

Приклад 8. Нехай задана матриця гри з природою. Здійснимо вибір за декількома критеріями.

	П1	П2	П3	П4	Min	Max	=0.6
А1	19	30	41	49	19	49	31
А2	51	38	10	20	10	51	26
А3	73	18	81	11	11	81	38
	73	38	81	11	19	81	38

Матриця ризиків

	П1	П2	П3	П4	Min
А1	54	8	40	0	54
А2	22	0	71	29	71
А3	0	20	0	38	38

Таким чином за критерієм Вальда обираємо стратеґію А₁, Гурвіца з 0.6 — А₃, Севіджа — А₃.