5.4. Представлення гри у вигляді задач лінійного програмування.

Надалі будемо вважати, що всі виграші не є негативними — з цією метою додамо до всіх елементів матриці гри значення найбільшого за абсолютним значенням негативного елементу. В результаті такого перетворення оптимальні стратеґії не зміняться, лише ціна гри збільшиться на відповідне значення.

Якщо один з гравців застосовує свою оптимальну стратеґію , то інший не може покращити своє положення, тобто для оптимальної стратеґії справедливі співвідношення , , за умови . Перетворимо цю задачу, здійснивши підстановку , і отримаємо , , тому що . Таким чином маємо задачу лінійного проґрамування, розв’язуючи яку, отримаємо значення , за допомогою яких шляхом оберненої підстановки визначимо оптимальні значення ймовірностей, що складають оптимальну мішану стратеґію.

Таким чином, підсумовуючи, оптимальні мішані стратеґії гравців А та В задовільняють другий наслідок з основної теореми теорії антаґоністичних ігор двох осіб, а саме:

, , ,

, , .

Здійснивши підстановки та і враховуючи, що гравець А прагне максимізувати свій середній виграш, а гравець В — мінімізувати програш, отримаємо пару двоїстих задач лінійного програмування, розв’язання яких дозволить визначити оптимальні стратеґії гравців А та В:

, ,

, .

Таким чином, процедура розв’язування гри є наступною:

• розрахунок нижньої та верхньої ціни гри; якщо вони рівні між собою, то гра розв’язана — стоп (розв’язок гри є розв’язком в чистих стратеґіях);

• в іншому випадку спрощуємо гру, виключаючи доміновані стратеґії;

• для спрощеної гри формулюємо пару задач лінійного програмування, розв’язуючи одну з яких встановлюємо оптимальну мішану стратеґію одного з гравців (зручніше гравця В);

• за розв’язком прямої задачі знаходимо розв’язок двоїстої;

• шляхом оберненої підстановки визначаємо оптимальні мішані стратеґії для спрощеної гри, та доповнюємо їх домінованими чистими стратеґіями з ймовірностями використання, що рівні нулю.

Приклад 3. Знайти розв’язок гри, заданої наступною матрицею:

		3 B1>B2		3 B3>B4	4 B1>B5
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	4	7	2	3	4
A2	3	5	6	8	9
A3	4	4	2	2	8		6 A1>A3
A4	3	6	1	2	4		1 A1>A4
A5	3	5	6	8	9		2 A2>A5
	=4	=7	=6	=8	=9

Гра не має сідлової точки — спрощуємо гру, виключаючи доміновані стратеґії. Стратеґія А_i домінує стратеґію A_j, якщо в A_i виграші не менші, ніж в A_j, і хоча би один строго більший. Стратеґії еквівалентні, якщо всі виграші цих двох стратеґій однакові. З числа еквівалентних стратеґій також залишаємо лише одну. Стратеґія B_i домінує стратеґію В_j, якщо в B_i програші не більші, ніж в B_j, і хоча би один строго менше. Таким чином оптимальні мішані стратеґії гравців А та В будуть мати відповідно вигляд , , де ненульові значення отримуються після розв’язування спрощеної гри розміром .

Приклад 4. Знайти розв’язок гри, заданої наступною матрицею:

Так як доміновані стратеґії відсутні, для розв’язування гри застосовуємо представлення у вигляді пари двоїстих задач лінійного проґрамування:

Q=q₁+ q₂+ q₃+ q₄  Max p₁+ p₂+ p₃  Min

3q₁+6q₂+ q₃+4q₄ <= 1 3p₁+5p₂+ p₃ >=1

5q₁+2q₂+4q₃+2q₄ <= 1 (1) 6p₁+2p₂+4p₃ >=1 (2)

q₁+4q₂+3q₃+5q₄ <= 1 p₁+4p₂+3p₃ >=1

q_j >=0 4p₁+2p₂+5p₃ >=1, p_i>=0.

Розв’язуємо задачу (1) за допомогою звичайного симплекс-методу, і переходимо шляхом обернених підстановок v=1/Q*, y_j=q_jv до визначення оптимальної мішаної стратеґії гравця В. З останньої симплекс-таблиці цієї задачі визначаємо оптимальні значення p_i, за допомогою яких, використовуючи підстановку x_i=p_iv розраховуємо значення оптимальної мішаної стратеґії гравця А.