4. Хроматическое число графа. Алгоритм правильной раскраски вершин графа методом перебора с возвратами.

Определения и постановка задачи.

Даны простой неориентированный граф с множеством вершин и множеством рёбер (граф простой, значит. без петель и кратных дуг).

Вершинная -раскраска графа – это присвоение его вершинам цветов из множества . Раскраска называется правильной, если никакие две смежные вершины не получают одного цвета.

Хроматическим числом графа называется минимальное число , при котором существует правильная раскраска вершин графа в цветов.

Очевидно, что .

Задача: вычислить .

Функция возвращает значение для графа , заданного каким-либо образом (например, матрицей или структурой смежностей). Попутно вычисляется вектор , где – цвет, который получает -ая вершина. При вычислении используется вспомогательная функция , возвращающая значение e (ложь), если правильная -раскраска графа не существует, и возвращает значение e, если существует; в последнем случае вычисляется значение – число использованных красок.

если раскраска существует, то можно считать, что вершина 1 получила цвет 1

for do остальные вершины пока цвета не имеют

i← 2;

Далее поиск правильной -раскраски осуществляется методом перебора с возвратами

while do начинаем раскраску со второй вершины

if then {назад: }

else

1: if цвет вершин, смежных с -ой вершиной, отличен от

then {вперед: }

od; конец цикла while

If then return (false)

else {2: ← число различных цветов в ; return (true)}.

NB. Оператор 1: можно реализовать следующим образом:

true; ;

while do

If then

If then

Здесь − элементы матрицы смежностей графа .

Оператор 2: можно реализовать следующим образом:

Теперь вычисляем хроматическое число графа

;

Ввести матрицу смежностей графа ;

;

for do ;

while do ;

return ( ).

5. Транспортные сети. Теорема форда-фалкерсона о максимальном потоке в транспортной сети

Определение. Транспортная сеть − это связный ориентированный граф без петель, удовлетворяющий следующим условиям:

1. Существует только одна вершина с нулевой степенью захода; эта вершина называется источником и обозначается через .

2. Существует только одна вершина с нулевой степенью исхода; эта вершина называется стоком и обозначается через .

3. Каждой дуге в сети сопоставляется неотрицательное вещественное число, называемое пропускной способностью дуги ; оно обозначается через или . (Если не существует дуги, ориентированной из в , то полагаем, что .)

Моделью транспортной сети может служить водопроводная система, в которой сечения труб определяют пропускные способности соответствующих труб, т.е. количество жидкости. которое может пропустить труба за единицу времени.

Потоком в транспортной сети является функция, сопоставляющая каждой дуге неотрицательное вещественное число так, что выполняются следующие условия:

1. для любой дуги ;

2. для любого .

(Требование 2 − это условие сохранения баланса. Образно говоря, ″сколько втекает в вершину, столько и вытекает из неё″.)

Величина потока обозначается через и определяется выражением

.

Говорят, что поток максимален, если не существует потока такого, что > .

Постановка задачи. Найти максимальный поток в заданной транспортной сети.

Пусть , . Разрез , определяется как множество дуг , у которых начало и конец лежат в разных подмножествах и . Разрез состоит из прямых дуг, ориентированных из в , и обратных дуг, ориентированных из в . Если , , то соответствующий разрез называется ( - ) - разрезом. См. рис. 1.

Далее рассматриваются только - - разрезы.

Пропускная способность , разреза , определяется как сумма пропускных способностей прямых дуг разреза. Разрез, пропускная способность которого не больше, чем у любого другого разреза, называется минимальным. (В транспортной сети может быть несколько минимальных разрезов, конечно, с одинаковыми пропускными способностями.)

Поток из в определяется как

Аналогично определяется поток из в :

1. Лемма. Для любого - - разреза < , > имеет место равенство

.

Доказательство. Для фиксированного имеем

Суммируя по всем , получаем

С другой стороны,

2. Следствие. Для любого потока и любого - - разреза < , >

( , ).

Доказательство. . ∎

Для потока и разреза < , > прямую дугу , где , , будем называть -насыщенной (соответственно, -не ), если (соответственно, если ). Обратную дугу , где , , будем называть -нулевой (соответственно, -положительной), если (соответственно, если ).

3. Лемма. Если величина потока равна пропускной способности некоторого разреза , , то − максимальный поток, а − минимальный разрез. Для данного разреза прямые дуги являются насыщенными, а обратные − нулевыми.

Доказательство. Пусть − максимальный поток, а − минимальный разрез. Так как и, по условию, , то . ∎

Рассмотрим в транспортной сети цепочку рёбер

, , , , ,

соединяющую источник и некоторую вершину . Заметим, что рёбра получаются из дуг путём снятия ориентации. Соответствующие дуги, составляющие цепочку, могут быть как прямыми, т.е. ориентированными из в , так и обратными, т.е. ориентированными из в .

Для ребра полагаем

Цепочка называется -ненасыщенной, если . -ненасыщенная цепочка из в называется -дополняющей.

Наличие в сети -дополняющей цепочки позволяет увеличить величину потока, вводя новый поток

При этом

.

4. Теорема. Поток в транспортной сети максимален тогда и только тогда, когда в сети отсутствуют -дополняющие цепочки.

Доказательство. Необходимость. Если поток максимален, то в сети заведомо нет -дополняющих цепочек. В противном случае можно было бы построить новый поток , величина которого больше, чем у потока .

Достаточность. Предположим, что сеть с потоком не содержит -дополняющих цепочек. Покажем, что в этом случае − максимальный поток.

Разобьём множество вершин сети на два непересекающихся подмножества и : в включим те вершины , до которых существуют -ненасыщенные цепочки из источника , а в включим остальные вершины, т.е. . Очевидно, что .

Пусть − произвольная дуга разреза , . Если − прямая дуга, т.е. , , то является -насыщенной дугой, поскольку иначе существует -ненасыщенная цепочка из в и . Аналогично, если − обратная дуга, т.е. , , то является -нулевой дугой . Таким образом, для прямых дуг и для обратных дуг разреза < , >. Тогда , , , , и , , , . Из леммы 3 вытекает, что < , > − минимальный разрез, а − максимальный поток.∎

5. Следствие (теорема Форда-Фалкерсона). Величина максимального потока в транспортной сети равна пропускной способности минимального разреза.

ПОМЕЧАЮЩИЙ АЛГОРИТМ ФОРДА-ФАЛКЕРСОНА НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА В ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ

Алгоритм основан на теореме 4 и состоит из двух фаз.

На первой фазе, используя помечающую процедуру, устанавливаем, существует ли в сети -дополняющая цепочка. Если такой цепочки нет, то согласно теореме 4 поток в сети максимален (конец алгоритма). В противном случае переходим ко второй фазе, в которой, используя метки, полученные на первой фазе, строим новый поток такой, что . Фазы 1 и 2 повторяются до тех пор, пока не будет построен максимальный поток.

Метка, которую может получить вершина на фазе 1, имеет вид ( , , ), где символ указывает на вершину, от которой получена метка, указывает направление помечивания − прямое ( ) или обратное ( ), наконец, = , если существует -ненасыщенная цепочка из в .

Помечивание начинается с пометки источника, который получает метку

, , , где значение несущественно. Помечивание остальных вершин происходит по следующим правилам.

Прямое помечивание. Если , то прямое помечивание из возможно, если вершина уже помечена и . При этом вершина получает метку , , , где .

Обратное помечивание. Если , то обратное помечивание из возможно, если вершина уже помечена и . При этом вершина получает метку , , , где .

Фаза 1 завершается, если либо 1) вершина (сток) помечена, либо 2) вершина не помечена и ни одну из непомеченных вершин не удаётся (нельзя) пометить. В пределах фазы каждая вершина помечается лишь один раз.

Если сток получил метку в первой фазе, то из правил помечивания следует, что в сети существует -дополняющая цепочка и >0. Во второй фазе эта цепочка прослеживается в обратном направлении (начиная с ) с помощью символов , что позволяет построить новый поток с увеличенным значением .

Алгоритм Форда-Фалкерсона.

Вход: транспортная сеть , заданная матрицей ( ), где = ( , ), , , пропускных способностей, или каким-нибудь другим способом.

(Начинаем с нулевого потока.)

for е ∈ E do f(e):= 0;

(Фаза 1.)

Удаляем все метки вершин;

Помечаем источник;

while вершина t не помечена и существует непомеченная вершина v do

помечаем вершину v;

od;

if сток не помечен then конец: максимальный поток построен;

(Фаза 2.)

v:= t; u:= d_v;

while v ≠ s do

if b_v = ″+″ then f(u,v):= f(u,v)+ ∆_t

else f(u,v):= f(u,v)− ∆_t;

v:= u

od;

Возврат на фазу 1.

Выход: максимальный поток f.