5.1.2. Показатели вариации

Размах – разница между наибольшим и наименьшим значениями вариант.

(3)

Выборочная дисперсия (оценка дисперсии) – характеристика рассеяния наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения. Обозначим D_в  выборочную дисперсию

Можно показать, что М(D_в) = (n/(n-1))D_в. Поэтому исправленная (несмещенная) дисперсия, которую будем обозначать через , равна

В случае интервального распределения заменяем на .

Кроме выборочной дисперсии для характеристики рассеяния пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением (стандартом) σ

Коэффициент вариации служит для сравнения величины рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов. Рассеяние по отношению к выборочной средней больше для того ряда, для которого коэффициент вариации больше

5.1.3. Показатели формы распределения

Выборочная асимметрия – характеристика симметричности распределения. Обозначается . Для симметричных распределений (в том числе для нормального распределения) асимметрия равна нулю. Если , то «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания, если , то слева от математического ожидания (рис.2.).

Выборочный эксцесс – характеристика «подъема, крутости» кривой распределения. Обозначается . Для нормального распределения эксцесс равен нулю. При , то кривая имеет более высокую и острую вершину, если , то кривая имеет более низкую вершину, чем нормальная кривая (рис.1).

Рис.1 Рис.2

Замечание. Вышеуказанные характеристики статистических распределений можно вычислять с помощью EXCEL, используя возможности мастера функций или с помощью встроенного пакета «Анализ».

Итак, все указанные выше оценки являются точечными. Однако при небольших объемах выборок точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине при выборках небольшого объема следует использовать интервальные оценки.

5.2. Интервальное оценивание параметров

Интервальная оценка определяется двумя числами: концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика θ* является оценкой неизвестного параметра θ. Ясно, что θ* тем точнее определяет параметр θ, чем меньше | θ- θ* |. Пусть δ>0 и | θ- θ* | < δ. Тогда δ характеризует точность оценки.

Но так как θ* -случайная величина, то можно говорить лишь о вероятности γ, с которой верно неравенство | θ- θ* | < δ.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ по θ* называют вероятность γ, с которой верно неравенство | θ- θ* | < δ. Обычно надежность задается наперед, причем в качестве γ берут число приближенное к единице (0,95; 0,99; 0,999).

Пусть , откуда . То есть γ – это вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр θ.

Итак, доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Доверительный интервал зависит от объема выборки и от значения надежности, в общем случае построение доверительных интервалов является сложной задачей. Рассмотрим частные случаи построения:

(1) Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестное матожидание ; точность оценки δ= . Число определяют из соотношения (по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа ).

(2) Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестное матожидание ; точность оценки δ= . Здесь S – исправленное среднеквадратическое отклонение, - квантиль порядка γ распределения Стъюдента = (то есть значение случайной величины, удовлетворяющее условию: ). Квантили заданы в специальных таблицах.

(3) Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестное значение σ с заданной надежностью γ. Здесь S – исправленное среднеквадратическое отклонение, - квантили распределения χ² Пирсона = .