Лекция 33. Основные параметры корректирующих кодов.

Одним из способов повышения качества передачи сообщений по дискретным каналам с помехами является применение корректи­рующих кодов, позволяющих обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие в канале. Сколько же ошибок может обнаружить и исправить код? Согласно теореме Шеннона при ско­рости передачи информации R меньше пропускной способности ка­нала С существуют коды, обеспечивающие безошибочную переда­чу. Однако они сложны и даже еще не найдены. Предложены и используются коды, обнаруживающие и исправляющие не все, а часть ошибок.

Общий принцип построения корректирующих кодов достаточно прост. Из общего числа возможных кодовых комбинаций значности m и основания n используются для передачи дискретных сообщений не все, а только необходимое количество (естественно, ). Используемые кодовые комбинации называются разрешенными. Остальные комбинаций считаются запре­щенными, т. е. они не могут передаваться по каналу связи и их появление на приемном конце свидетельствует о наличии ошибок. По определению акад. А. А. Харкевича, корректирующим кодом является код, удовлетворяющий единственному условию: . Действительно, если имеется хотя бы одна запрещенная кодовая комбинация, то возникает принципиальная возможность обнару­жения (или даже исправления) ошибок передачи.

Таким образом, любой корректирующий код является кодом с избыточностью (имеются лишние, неиспользуемые кодовые ком­бинации). Для описания корректирующего кода вводятся следую­щие параметры:

Корректирующая способность кода определяется кратностью обнаруживаемых и исправляемых ошибок, под которы­ми понимают гарантированное число ошибок в кодовой комбина­ции, обнаруживаемых или исправляемых заданным кодом. Совер­шенно ясно, что чем больше кратность и , тем совер­шенней является код.

Расстояние Хэмминга - показывает степень различия между -й и -й кодовыми комбинациями. Для любых двух двоичных ко­довых комбинаций кодовое расстояние равно числу несовпадаю­щих в них разрядов. Так, приведенные ниже комбинации (для удобства различения они написаны друг под другом)

не совпадают в трех разрядах (помечены штрихами) и поэтому расстояние Хэмминга =3. Математически расстояние Хэмминга вычисляется как число единиц в сумме по модулю два этих кодо­вых комбинаций.

Кодовое расстояние – это минимальное расстояние Хэмминга для заданного кода. Перебрав все возможные пары разрешенных кодовых комбинаций и вычислив для них , необходимо найти среди них минимальное. Это и будет кодовое расстояние , которое полностью характеризует корректирующую спо­собность кода.

Вес кодовой комбинации численно равен числу входящих в нее ненулевых символов.

Относительная скорость кода показывает относительное чис­ло разрешенных кодовых комбинаций в коде и вычисляется по формуле

Лекция 34. Принципы построения корректирующих кодов.

Схема включения кодера и декодера корректирующего кода в систему передачи дискретных сообщений двоичными кодами по­казана на рисунке. На вход кодера поступает последовательность двоичных символов , представляющих собой безызбыточ­ные кодовые комбинации , соответствующие знакам сообщения. В процессе кодирования кодовые комбинации значности пре­образуются в -разрядные кодовые комбинации , т. е. кодер вводит в безызбыточные ко­довые комбинации проверочных символов.

Принятая кодовая комбинация может в любом символе отличаться от переданной в результате воздейст­вия ошибок, возникающих на выходе дискретного канала связи. Поэтому каждый из ее символов обозначается со штрихом. В де­кодере при избыточном кодировании появляется возможность об­наружения и исправления этих ошибок. Для реализации этой воз­можности, все кодовые ком­бинации корректирующего кода разбиваются на разрешенные и запрещенные. На выходе кодера формируются и далее передаются по дискретному каналу только разрешенные кодовые комби­нации. Переход их в запрещенные под действием ошибок является необходимым условием для обнаружения и исправления ошибок. Поэтому главная задача построения любого корректирующего ко­да — разбиение всех кодовых комбинаций на разрешенных и запрещенных, так чтобы обеспечить заданную коррек­тирующую способность кода. В общем случае это достаточно слож­ная задача, решаемая различным образом в зависимости от тре­бований к декодеру: необходимо обнаруживать или исправлять ошибки.

Рисунок. Структурная схема включения кодека корректирующего кода:

1 – входная последовательность двоичных символов; 2 – закодированная последователь­ность двоичных символов; 3 – закодированная последовательность

двоичных символов с ошибками.

Декодирование с обнаружением ошибок. Ме­тодика обнаружения ошибок при декодировании достаточно проста: принятая кодовая комбинация поочередно сравнивается со все­ми разрешенными, и если она не совпадает ни с одной из них, то выносится решение о наличии ошибок.

Для обнаружения ошибок кодовое расстояние между любыми двумя разрешенными кодовыми комбинациями должно быть дос­таточным для того, чтобы при изменении одного или нескольких символов в них под воздействием ошибок не возникала снова раз­решенная кодовая комбинация. Следовательно, для обнаружения ошибок кратности кодовое расстояние должно быть хотя бы на единицу больше кратности обнаруживаемых ошибок .

Декодирование с исправлением ошибок. В ко­дах с исправлением ошибок предъявляются более жесткие требо­вания к расстоянию между разрешенными кодовыми комбинация­ми. Исправление ошибок возможно также только в том случае, когда переданная разрешенная кодовая комбинация переходит в запрещенную. Решение о том, какая кодовая комбинация переда­валась, производится в декодере на основании сравнения принятой запрещенной комбинации со всеми разрешенными. Принятая ко­довая комбинация отождествляется с той из разрешенных, на ко­торую она больше всего похожа, т. е. с той, от которой она отли­чается меньшим числом элементов. Согласно этому правилу, для исправления ошибок кратностью необходимо, чтобы запре­щенная кодовая комбинация, получаемая при -кратных ошиб­ках, оставалась ближе к истинной, чем к любой другой разрешен­ной комбинации.

Эти соотношения являются основными для опреде­ления корректирующей способности кода, так как позволяют при заданном расстоянии определять кратность обнаруживаемых и исправляемых ошибок. Так, если «соседние» разре­шенные кодовые комбинации находятся на кодовом расстоянии , то при ошибках кратности четыре и меньше любая разре­шенная комбинация не может перейти в другую разрешенную и факт наличия ошибок легко обнаруживается. Исправляться могут только одно- и двукратные ошибки, так как уже при трех ошибках полученная запрещенная кодовая комбинация окажется ближе к другой разрешенной. Сказанное иллюстрируется диаграммой на рисунке.

Расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями условно показано в виде прямых, на которых через интер­вал отложены запрещенные кодовые комбинации, отличаю­щиеся в 1 ... 4 символах от разрешенных. Штрихами изображена зона, окружающая каждую раз­решенную кодовую комбинацию. При декодировании кодовые ком­бинации, попадающие в эту зо­ну, отождествляются с разрешен­ной. Трехкратная ошибка в (отмечено стрелкой) переводит эту комбинацию в зону и при декодировании будет решено, что передавалась (ошибки не ис­правлены).

Геометрическое представление исправления ошибок корректирующим ко­дом

Список используемой литературы.

1. Теорія електричного зв’язку / Стеклов В.К., Беркман Л.Н.; За ред. В.К.Стеклова. – К.: Техніка, 2006. – 552 с.

2. Абакумов В.Г. Электронные промышленные устройства. Учебное пособие для вузов. – К.: Вища школа., 1998. – 376 с.

3. Банкет В.Л., Дорофеев В.М. Цифровые методы в спутниковой связи. – М.: Радио и связь, 1988. – 448 с.

4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1998. – 448 с.

5. Витерби А.Д., Омура Д.К. Принципы цифровой связи и кодирования. – М.: Радио и связь, 1982. – 526 с.

6. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К., Бріцький О.І. Теорія автоматичного управління. – К.: Техніка, 2002. – 688 с.

7. Зюко А.Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. – М.: Связь, 1973. – 359 с.

8. Зюко А.Г., Коробов Ю.Ф. Теория передачи сигналов. Учебник для вузов. – М.: Связь, 1972. – 282 с.

9. Игнатов В.А. Теория информации и передачи сигналов. Учебник для вузов. – М.: Сов. радио, 1979. – 280 с.

10. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. ­ М.: Связь, 1972. – 282 с.

11. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов в задачах. – М.: Связь, 1978. – 252 с.

12. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. Сб. задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1990. – 280 с.

13. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. – Л.: Госэнергоиздат, 1956. – 152 с.

14. Назаров М.В., Кувшинов Б.И., Попов О.В. Теория передачи сигналов. – М.: Связь, 1970. – 368 с.

15. Панфілов І.П., Дирда В.Ю., Капацін А.В. Теорія електричного зв’язку. – К.: Техніка, 1998. – 322 с.

16. Стеклов В.К., Беркман Л.Н. Проектування телекомунікаційних мереж. – К.: Техніка, 2002. – 792 с.

17. Теория передачи сигналов: Учеб. для вузов / А.Г.Зюко, Д.Д.Кловский, М.В.Назаров, Л.М.Финк. – М.: Связь, 1986. – 304 с.

18. Теория электрической связи: Учеб. для вузов / А.Г.Зюко, Д.Д.Кловский, В.И.Коржик, М.В.Назаров. – М. Радио и связь, 1998. – 432 с.