4. Построение плана скоростей на примере шарнирного четырехзвенника

Для определения скоростей и ускорений применяются простейшие построения, известные под названием планов скоростей и ускорений. Эти построения начинаются с изображения плана механизма. На Рис.5(а) показан план шарнирного четырехзвенника, построенный в определенном чертежном масштабе для заданного значения обобщенной координаты ₁ по известным длинам звеньев l_AB, l_BC, l_CD, l_AD и расположению точки Е на звене 2.

Задача об определении скоростей, которую будем решать построением плана скоростей, формулируется следующим образом. Дан план механизма с указанием всех размеров, его определяющих, и задана угловая скорость начального звена ₁. Если задана частота вращения n₁, то для определения ₁ используется соотношение

(14)

Требуется найти для каждого звена механизма его угловую скорость и скорости одной или двух его точек. Решение задачи начинаем с определения модуля скорости точки В начального звена 1:

(15)

_{Изобразим скорость νВ вектором, отложенным из некоторой точки р,} называемой полюсом плана скоростей (Рис. 5,б). Этот вектор направлен перпендикулярно АВ в сторону, соответствующую направлению угловой скорости ₁. В конце вектора поставим точку b. Длина отрезка рb может быть выбрана произвольно. Масштабный коэффициент скорости - . Можно также задаться значением _v и определить отрезок рb (в мм) из условия . Иногда принимают pb=AB, тогда , а построения, проводимые при этом значении _v, называют построениями в масштабе кривошипа.

Затем находим скорость точки С, которая является общей для звеньев 2 и 3. Воспользовавшись теоремой о сложении скоростей в переносном и относительном движениях, напишем уравнение, связывающее скорости точек В и С. Переносным движением считаем поступательное движение звена 2 со скоростью точки В, а относительным - вращательное движение звена 2 вокруг точки В. Тогда на основании указанной теоремы получаем (двумя линиями подчеркнут вектор, известный по модулю и направлению, одной линией - известный только по направлению):

(16)

CD AB СВ.

где: - скорость точки С во вращательном движении звена 2 относительно точки в.

Векторное уравнение (16) равносильно двум скалярным уравнениям; его можно заменить двумя уравнениями проекций векторов на координатные оси, лежащие в плоскости векторов.

Следовательно, из уравнения (16) можно найти модули скоростей и . Они находятся графическим построением треугольника векторов. Для этого из точки b проводим линию, перпендикулярную ВС (т.к. вектор перпендикулярен звену ВС), а из полюса р - линию, перпендикулярную CD. (направление вектора ). В пересечении этих направлений находится точка С - конец вектора - искомой скорости точки С. Вектор скорости изображается отрезком cb, причем стрелка вектора направлена к точке С, соответствующей первой букве индекса. Скорость по модулю равна скорости и направлена в противоположную сторону. Поэтому вектор скорости также изображается отрезком bс=сb но стрелка вектора направлена к точке b (первой букве индекса). Для того чтобы указанное правило определения векторов скоростей соблюдалось, индексы у векторов скоростей в уравнениях следует располагать в принятой последовательности. Например, в уравнении (16) сначала идет индекс С, затем В и далее СВ.

После того как определены скорости двух точек на звене 2, можно найти модуль угловой скорости этого звена (рад/с).

, (17)

где: .

Для определения направления (знака) угловой скорости звена 2 переносим вектор скорости в точку С и рассматриваем движение точки С относительно точки В в направлении скорости , В данном примере вращение отрезка CB, а следовательно, и угловая скорость ₂ направлены против хода часовой стрелки, т.е. ₂ имеет знак плюс. Определяем модуль угловой скорости звена 3

, (18)

где: .

Для определения направления угловой скорости звена 3 переносим вектор скорости в точку С и устанавливаем, что вращение звена 3 и угловая скорость ₃ направлены против хода часовой стрелки.

Скорость точки Е можно найти из векторного уравнения, аналогичного (16):

, (19)

ЕВ

если вычислить модуль скорости из условия . Этого вычисления можно избежать, если дополнительно к уравнению (19) записать уравнение:

, (20)

ЕС

Приравнивая правые части уравнений (19) и (20), получаем уравнение:

, (21)

ЕB ЕС

Это уравнение можно решить простым построением. Из точки b проводим линию, перпендикулярную BE, а из точки с - линию, перпендикулярную СЕ. Точка пересечения этих линий есть искомая точка е конца вектора искомой скорости .

Обратим внимание на то, что bce на плане скоростей (Рис. 5,б) подобен BCE на плане механизма (Рис. 5,а) по взаимной перпендикулярности сторон.

Если bce показать в положении, симметричном относительно отрезка be, то сходность расположения bce и BCE уже не будет.

Указанное свойство подобия справедливо для любого числа точек на звене механизма. Отсюда следует теорема подобия:

«Отрезки прямых линий, соединяющих точки одного и того же звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходно расположенные фигуры».

Теорема подобия дает возможность определить скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек этого звена.