2. Движение тел переменной массы.

Реактивное движение. Всем известно так называемое явление отдачи. Если выстрелить из незакрепленной пушки, то пушка в результате отдачи после выстрела начнет двигаться в сторону противоположную скорости вылета снаряда. Если человек, стоя на гладком льду, оттолкнет от себя какой-либо тяжелый предмет, то сам начнет двигаться в противоположную сторону. Если надуть детский резиновый шарик и отпустить, то, выталкивая из себя воздух, сам шарик начнет быстро двигаться. На этом явлении отдачи основано реактивное движение.

В камере сгорания реактивного двигателя происходит сгорание топлива. Образовавшиеся при этом продукты сгорания (в основном газы) имеют очень большую температуру и с большой скоростью вылетают из сопла двигателя. При этом сам двигатель приобретает скорость отдачи. Если реактивный двигатель находится в космической ракете, то масса ракеты по мере сгорания топлива уменьшается. То есть сама ракета во время полета является телом переменной массы.

Принцип реактивного движения заключается в том, что при истечении из сопла газы приобретают импульс. Согласно закону сохранения импульса ракета приобретает в противоположном направлении равный по модулю импульс.

Уравнение Мещерского. Рассмотрим ракету, летящую в космосе вдали от звезд и планет. Пусть продукты сгорания вылетают из сопла ракеты с постоянной скоростью u относительно ракеты. Пусть в некоторый момент времени масса ракеты равна М, а ее скорость относительно инерциальной системы отсчета, связанной со звездами, равна v. Спустя очень маленький промежуток времени Δt масса ракеты станет равна (Δm – масса топлива, сгоревшего за время Δt), скорость ракеты немного возрастет и станет равна , а сгоревшая масса топлива вылетит из сопла ракеты и будет иметь скорость . Так как система ракета – продукты сгорания изолированная, то должен выполняться закон сохранения импульса:

Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем:

Так как Δt очень малая величина, то и Δm тоже очень малая величина. Значит последнее слагаемое в последнем уравнении является произведением двух очень малых величин (бесконечно малая второго порядка). Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Пусть - секундный расход топлива – масса топлива, сгорающая в единицу времени. Окончательно имеем:

Это уравнение называется уравнением Мещерского.

Реактивная сила. Величина называется реактивной силой. Она обусловлена отдачей при истечении продуктов сгорания из сопла реактивного двигателя. Она приложена к ракете и не зависит от устройства двигателя, а определяется только секундным расходом топлива и скоростью истечения газов из сопла. Направлена реактивная сила противоположно направлению скорости истечения газов.

Билет 5

1 . Криволинейное движение. Рассмотрим движение тела по произвольной криволинейной траектории. Выше мы уже отмечали, что при движении тела по криволинейной траектории вектор его скорости в любой точке направлен по касательной к траектории. На рисунке показано, почему это так. Средняя скорость равна . Это значит, что направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением перемещения Δr. Но если мы будем приближать конечную точку к начальной, делая промежуток времени Δt все меньше, то, как видно из рисунка, направление вектора Δr будет приближаться к направлению касательной к траектории в начальной точке и в пределе сольется с ней. Но в этом пределе средняя скорость перейдет в мгновенную скорость.

Скорость при криволинейном движении. Важным частным случаем движения по криволинейной траектории является движение по окружности. Дело в том, что любую плавную кривую линию можно заменить совокупностью сопряженных дуг окружностей разного радиуса. Пусть имеется некоторая кривая линия. В каждой точке кривой можно провести множество окружностей, касающихся ее в этой точке. Но среди всех этих окружностей имеется одна, которая лучше других описывает кривизну кривой в данной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны линии в этой точке. Таким образом, движение тела по произвольной криволинейной траектории можно представить как последовательное движение по окружностям разного радиуса.

П усть тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим две очень близкие точки траектории А и В. Так как точки очень близки друг к другу, то можно считать, что они лежат на дуге окружности с радиусом равным радиусу кривизны траектории в данной части траектории - R. Предположим, что скорость тела по величине постоянна. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение тела равно центростремительному. Треугольник, построенный на векторах v_A, v_B и Δv равнобедренный и подобен треугольнику АОВ. Значит можно написать:

Пусть Δt – время, за которое тело перешло из точки А в точку В. Так как точки А и В расположены очень близко друг к другу (на рисунке для наглядности они расположены далеко друг от друга), то хорда АВ практически совпадает с дугой АВ. Поэтому можно написать: . А значит получаем:

Так как тангенциальное ускорение равно нулю, то представляет собой центростремительное ускорение. Таким образом получаем формулу для центростремительного ускорения при движении тела по криволинейной траектории:

Здесь v – мгновенная скорость тела, а R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Центростремительное и тангенциальное ускорение. В отличие от скорости, ускорение при движении тела по криволинейной траектории почти никогда не бывает направлено по касательной к траектории. Так как , то направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости. Как видно из рисунка, вектор изменения скорости, а, значит, и ускорение направлены внутрь кривизны траектории. В общем случае угол между векторами скорости и ускорения может изменяться от 0 до 180°.

О чень часто ускорение тела при движении по криволинейной траектории раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие: на направление касательной к траектории и на направление перпендикулярное касательной. Составляющая вектора полного ускорения на направление касательной к траектории называется тангенциальным или касательным ускорением (а_τ). Составляющая вектора полного ускорения на направление перпендикулярное касательной называется центростремительным или нормальным ускорением (а_ц).

Если α – угол между направлениями ускорения и скорости, то можно написать:

Кроме того:

Р азделение ускорения на две составляющие связано с тем, что каждая составляющая полного ускорения характеризует изменение скорости по одному из двух параметров. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Тангенциальное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости, если скорость по величине возрастает и направлено противоположно скорости, если она убывает. При движении с постоянной по величине скоростью тангенциальное ускорение равно нулю. Модуль тангенциального ускорения равен:

Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. При движении по прямолинейной траектории центростремительное ускорение равно нулю.

2. Работа силы. Если на тело действует постоянная сила F и тело совершает перемещение S, то величина

называется работой силы. Здесь α – угол между направлениями вектора силы и вектора перемещения. Работа – величина скалярная. Единицей измерения работы в системе СИ является Джоуль [Дж].

1 Дж = 1 Н·1 м

Один Джоуль – это работа, которую совершает сила 1 Н при перемещении тела на 1 м при условии что α = 0. Работа силы может быть положительной (если α < 90°), отрицательной (если α > 90°), а также равна нулю (если α = 90°).

Работа постоянной и переменной силы.

Если действующая на тело сила не постоянна, то для нахождения ее работы весь участок движения необходимо разбить на маленькие участки ΔS_i такие, что на каждом из них силу можно было бы считать постоянной, определить работу на каждом маленьком участке и все эти работы алгебраически сложить. Эта процедура фактически сводится к интегрированию.

В некоторых случаях работу непостоянной силы можно найти графически. Если при прямолинейном перемещении известен график зависимости силы от перемещения, то работа силы численно равна площади под графиком.

Работа равнодействующей силы. Если на тело действует несколько сил, а - их равнодействующая, то работа равнодействующей равна:

То есть, работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело. Если под действием постоянной силы тело совершает несколько перемещений, то суммарная работа будет равна алгебраической сумме работ на всех перемещениях:

Здесь - суммарное перемещение тела. Если сила постоянна, то работа этой силы при перемещении тела из начального положения в конечное не зависит от формы траектории, по которой двигалось тело, а определяется только суммарным вектором перемещения. В частности, работа постоянной силы при перемещении тела по произвольной замкнутой траектории всегда равна нулю.

Мощность. Если работа А была совершена за промежуток времени Δt, то величина

называется мощностью. Мощность, определяемая подобным образом, имеет смысл средней мощности на промежутке Δt. Если под действием силы F тело совершает перемещение S, то

Здесь v_ср – средняя скорость перемещения. Для определения мгновенной мощности надо перейти к пределу бесконечно маленьких промежутков времени:

Для мгновенной мощности силы получаем:

где v – мгновенная скорость; α – угол между векторами силы и скорости. Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт [Вт].

Кинетическая энергия. Пусть на тело массой m действует постоянная сила F. При этом тело движется равноускоренно с ускорением . Пусть тело переместилось из начального положения в конечное, совершив перемещение S. Если начальная скорость тела на этом перемещении равна v₀, а конечная – v, то можно написать:

Это выражение можно переписать так:

Справа от знака равенства записана работа силы F. Если на тело действует несколько сил, то вместо силы F можно написать равнодействующую всех этих сил. Величина

называется кинетической энергией тела.

Теорема о кинетической энергии. Существует теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей силы при произвольном перемещении тела равна изменению кинетической энергии тела на этом перемещении. Кинетическая энергия – величина скалярная и всегда положительная. Единицей измерения кинетической энергии, так же как и работы является Джоуль [Дж].

И зменение кинетической энергии тела может быть как положительным, так и отрицательным. Так если некоторая сила совершает над телом положительную работу, то его кинетическая энергия возрастает. С другой стороны, если на движущееся тело начинает действовать тормозящая сила, то скорость тела, а значит и его кинетическая энергия начинает уменьшаться. При этом тело само совершает работу против силы сопротивления за счет своей кинетической энергии. Таким образом, наличие у тела кинетической энергии означает его способность совершать работу.