Билет 10

1. Взаимодействие тел. Сила всегда является результатом взаимодействия. Это значит, что если на тело действует какая-то сила, то обязательно должно существовать еще какое-то тело, являющееся источником этой силы. Кроме того, если первое тело действует на второе, то и второе обязательно действует на первое. То есть у любой силы действия обязательно должна существовать парная ей сила противодействия.

Третий закон Ньютона. Третий закон Ньютона заключается в том, что силы действия и противодействия, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль прямой, соединяющей тела. Кроме того, силы действия и противодействия всегда являются силами одной природы, то есть, если сила действия является силой трения, то и сила противодействия тоже является силой трения и так далее. Если обозначить силу, действующую со стороны первого тела на второе F₁₂, а силу, действующую со стороны второго тела на первое F₂₁, то третий закон Ньютона можно записать так:

Три закона Ньютона являются фундаментом классической механики. Следует заметить, что строго они скорее являются не законами, а аксиомами, так как они не выводятся и не доказываются, а являются результатом обобщения огромного количества экспериментальных фактов и принимаются без доказательства. Еще раз отметим, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Принцип относительности Галилея. Принцип относительности Галилея гласит: во всех инерциальных системах отсчета законы механики имеют одинаковый вид.

Иначе можно сказать: вид уравнений, выражающих законы механики, не меняется (инвариантен) при преобразованиях Галилея. Преобразования Галилея заключаются в преобразованиях координат и времени при переходе от одной инерциальной системе к другой. Так, например, если вторая система отсчета движется вдоль оси Х относительно первой с постоянной скоростью v и если оси Х обеих систем направлены в одну сторону, то координаты некоторого тела, измеренные в этих системах отсчета, связаны между собой соотношением:

Кроме того, время в обеих системах отсчета совпадает: t₁ = t₂. То же самое можно записать для осей Y и Z. В общем виде преобразования Галилея записываются так:

Физически принцип относительности Галилея утверждает, что если есть две инерциальные системы отсчета, движущиеся относительно друг друга, то ни один механический эксперимент не позволит нам обнаружить какая из этих двух систем движется, а какая нет.

Следует однако понимать, что одинаковость законов, управляющих движением не означает, что и само движение будет одинаковым. Каждое конкретное движение зависит от начальных условий, которые в разных системах отсчета будут разными. Так, например, законы, управляющие свободным падением для всех тел одинаковые. Однако конкретное движение тел, да и вид траектории движения, сильно отличаются в зависимости от величины и направления начальной скорости.

2. Движение твердого тела. В этой главе кратко рассмотрим основные вопросы, касающиеся вращательного движения твердого тела. Однако сначала рассмотрим движение материальной точки по окружности в несколько измененном виде. Пусть материальная точка массой m движется по окружности радиусом R. Пусть на точку действует сила F. Разложим силу на две составляющие: составляющую, направленную вдоль радиуса окружности и составляющую, направленную перпендикулярно радиусу, то есть по касательной к окружности. Первая составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение точки и ее можно назвать центростремительной силой F_ц. Вторая составляющая обеспечивает тангенциальное ускорения точки и ее можно назвать тангенциальной силой F_τ. Второй закон Ньютона для тангенциальной силы запишется так:

Где а_τ – тангенциальное ускорение. Но , где ε – угловое ускорение. Значит:

Умножим обе части последнего равенства на R и заметим, что – момент силы F относительно оси вращения точки. Таким образом, получаем:

Момент инерции. Между поступательным и вращательным движениями можно провести аналогию. В частности, кинематическим характеристикам поступательного движения можно привести в соответствие характеристики вращательного движения. Так аналогом перемещения для поступательного движения служит угол поворота, аналогом скорости служит угловая скорость, а аналогом ускорения служит угловое ускорение. Можно пойти еще дальше и привести в соответствие динамические и энергетические характеристики поступательного и вращательного движений. Так хорошим аналогом силы при поступательном движении может служить момент силы для вращательного движения. Тогда аналогом массы при вращательном движении должна служить величина . Обозначим эту величину буквой J. Величина

называется моментом инерции. При этом второй закон Ньютона для движения материальной точки по окружности выглядит так:

Это уравнение по виду и по смыслу полностью соответствует второму закону Ньютона для поступательного движения материальной точки.

Теперь перейдем к вращательному движению твердого тела. Пусть имеется твердое тело, способное свободно вращаться вокруг некоторой оси. Разобьем тело (мысленно) на очень большое количество очень маленьких элементов, каждый из которых можно было бы считать материальной точкой. Пусть элемент массой m_i находится на расстоянии R_i от оси вращения. Тогда его момент инерции равен . Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма моментов инерции всех составляющих его элементов:

В этом случае второй закон Ньютона для вращения твердого тела также записывается в виде (*), где М – алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно данной оси.

Моменты инерции симметричных тел. Определение моментов инерции тел сводится к объемному интегрированию и в общем случае является довольно сложной процедурой. Однако для многих тел простой формы моменты инерции известны. Приведем моменты инерции для некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела.

1) Момент инерции тонкого обруча массой m и радиусом R относительно оси перпендикулярной плоскости обруча равен .

2) Момент инерции однородного диска или однородного цилиндра относительно оси перпендикулярной плоскости диска или совпадающей с осью цилиндра равен .

3) Момент инерции однородного шара равен .

4) Момент инерции однородного стержня длиной l и массой m относительно оси перпендикулярной стержню равен .

Теорема Штейнера. Приведем без доказательства теорему Штейнера. Если J₀ – момент инерции некоторого тела массой m относительно оси, проходящей через центр масс тела, то его момент инерции относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее не расстоянии а, равен:

.

Основное уравнение вращения твердого тела.

Билет 11

1. Сила трения. Сила трения является одной из самых распространенных механических сил. Она возникает каждый раз когда тело начинает двигаться или когда его пытаются сдвинуть с места.

Виды сил трения. Существует четыре вида сил трения:

• сила трения покоя;

• сила трения скольжения;

• сила трения качения;

• сила вязкого трения (сила сопротивления).

Сила трения качения и сила вязкого трения в школьном курсе физики почти не рассматриваются. Сила трения качения обычно невелика и ей обычно пренебрегают по сравнению с остальными видами силы трения. Сила вязкого трения не рассматривается потому, что о ней в школьном курсе физики ничего существенного сказать нельзя в связи со сложностью используемого для этого математического аппарата.

Сила трения покоя и скольжения.

Сила трения покоя.

Сила трения покоя возникает между соприкасающимися телами каждый раз, когда одно тело пытаются сдвинуть относительно другого, а оно не движется. Сила трения покоя направлена параллельно поверхности соприкосновения тел в сторону противоположную направлению внешней сдвигающей силы и по модулю равна проекции внешней сдвигающей силы на плоскость соприкосновения тел. Сила трения покоя возрастает с возрастанием внешней силы. Но если внешняя сила может возрастать неограниченно, то, как показывает практика, у силы трения покоя есть максимальное значение. Это максимальное значение определяется силой, с которой соприкасающиеся поверхности прижимаются друг к другу (силой нормального давления). Практика показывает, что максимальное значение силы трения покоя прямо пропорционально силе нормального давления. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента трения покоя:

Коэффициент трения покоя определяется материалом, из которого сделаны соприкасающиеся поверхности и степенью их обработки и не зависит от площади соприкосновения.

В общем случае для величины силы трения покоя справедливо неравенство:

Сила трения скольжения.

Если величина внешней сдвигающей силы превышает максимальное значение силы трения покоя, то начинается скольжения. Сила трения покоя при этом исчезает и появляется сила трения скольжения. В отличие от силы трения покоя сила трения скольжения постоянна и ее величина тоже пропорциональна силе нормального давления. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения скольжения:

Сила трения скольжения направлена также параллельно поверхности соприкосновения тел и в сторону противоположную скорости относительного движения соприкасающихся поверхностей. Коэффициент трения скольжения также определяется материалом и степенью обработки соприкасающихся поверхностей и не зависит от площади соприкосновения.

Максимальное значение силы трения покоя всегда несколько больше силы трения скольжения. На рисунке приведен примерный характерный график зависимости силы трения от внешней сдвигающей силы.

О днако разница между максимальной силой трения покоя и силой трения скольжения невелика. Поэтому в практике решения задач в школьном курсе физики этой разницей обычно пренебрегают и считают, что эти силы равны. При этом считается, что коэффициенты трения покоя и скольжения равны и они называются просто коэффициентом трения. А значит:

. Сила трения качения

Силой трения качения называется сила препятствующая движению при качении какого-либо круглого тела по плоской поверхности другого тела (например, колеса по дороге). Наличие силы трения качения связано с тем, что и само катящееся тело и поверхность под ним слегка деформируются под действием силы давления. Возникающая при этом сила сопротивления движению также пропорциональна силе нормального давления. Однако, если колесо и поверхность достаточно твердые и их деформации невелики, то возникающая при этом сила трения качения, как правило, очень мала по сравнению с другими видами сил трения и ей обычно при решении задач пренебрегают.

Сила вязкого трения

Сила вязкого трения возникает при движении тела в какой-либо вязкой среде (в жидкости или газе) или при скольжении поверхностей при наличии между ними прослойки из вязкой жидкости (смазки). Сила вязкого трения при движении тела в жидкости и газа (сила сопротивления) сильно зависит от скорости движения и при больших скоростях может быть весьма большой. Кроме того, сила сопротивления сильно зависит от формы движущегося тела (обтекаемая или необтекаемая форма) и его размеров. Причем, зависимость силы сопротивления от скорости довольно сложная. При малых скоростях движения (ламинарное обтекание) сила сопротивления примерно пропорциональна величине скорости в первой степени. При увеличении скорости зависимость силы сопротивления от скорости усиливается и может быть пропорциональна величине скорости в квадрате или в более высокой степени. Это приводит к тому, что в школьном курсе физики сила сопротивления в явном виде обычно не учитывается, а если и учитывается, то в задаче указывается как ее учесть.

Сила трения и движении