4.12. Кооперативные игры.

4.12.1. Природа и структура кооперативных игр

Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N ={1, 2, ..., n}, а через K – любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков.

Функция v, ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый ею выигрыш v(K), называется характеристической функцией игры.

Система {N, v}, состоящая из множества игроков и характеристической функции, называется кооперативной игрой.

Дележом называется распределение выигрышей игроков, удовлетворяющее следующим условиям:

1) x_i  v( i ), iN (индивидуальной рациональности), (1)

2) = v(N) (коллективной рациональности). (2)

Теорема. Чтобы вектор x = (x₁, ..., x_n) был дележом в кооперативной игре {N, v}, необходимо и достаточно, чтобы

x_i = v( i ) + _i, (iN),

причём

_i  0 (iN), = v(N) – .

В бескоалиционных играх исход формируется в результате действий игроков, которые в этой ситуации получают свои выигрыши. Исходом в кооперативной игре является делёж, возникающий не как следствие действия игроков, а как результат их соглашений. Поэтому в кооперативных играх сравниваются не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это носит более сложный характер.

Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство v(K) + v(L) < v(KL), т. е. характеристическая функция является супераддитивной. Если же характеристическая функция является аддитивной, т. е. выполняется равенство v(K) + v(L) = v(KL), то такие игры называются несущественными.

Кооперативная игра с характеристической функцией v имеет (0,1)-редуцированную форму, если выполняются соотношения:

1) v( i ) = 0 (iN),

2) v(N) = 1.

В игре в (0,1)-редуцированной форме дележом является любой вектор x = = (x₁, ..., x_n), для которого

1) x_i  0 (iN),

2) = 1.

4.12.2. Некоторые понятия решения кооперативной игры

4.12.2.1. С-ядро

Для исследования игр большое значение имеет возможность учёта предпочтения дележей, которая осуществляется с помощью понятия доминирования.

Пусть имеется два дележа x = (x₁, ..., x_n) и y = (y₁, ..., y_n) в кооперативной игре , и K N – некоторая коалиция. Тогда делёж x доминирует y по коалиции K, если

1)  v(K) (свойство эффективности доминирующего платежа);

2) x_i > y_i для всех iK (свойство предпочтительности).

Соотношение доминирования x над y по коалиции K обозначается через .

Делёж x доминирует y, если существует такая коалиция K, для которой делёж x доминирует y. Это доминирование обозначается так: .

Наличие доминирования означает, что во множестве игроков N найдётся коалиция, для которой x предпочтительнее y.

Отношение доминирования не обладает полностью свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности, возможна только частичная симметрия и транзитивность. Соотношение доминирования возможно не по всякой коалиции. Так, невозможно доминирование по коалиции, состоящей из одного игрока или из всех игроков.

В связи с этим возникает необходимость выделения вполне устойчивых дележей, т. е. таких дележей, которые не доминируются никакими другими дележами. Множество вполне устойчивых дележей в кооперативной игре называется с-ядром этой игры.

Теорема. Для того чтобы делёж x принадлежал с-ядру кооперативной игры с характеристической функцией v, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции K выполнялось неравенство:

. (3)

Поскольку неравенства (3) линейны относительно x, то из теоремы следует, что с-ядро в любой кооперативной игре является выпуклым многогранником.

К особенностям кооперативных игр относительно существования с-ядра относятся:

1) в несущественной игре с-ядро существует и состоит из единственного дележа этой игры;

2) во всякой существенной игре с постоянной суммой с-ядро пусто.

Пример. (Планирование выпуска побочной продукции, кооперативный случай). Пусть три предприятия могут выпускать товары типов и : предприятие 1 – товары типов и в объеме 900 единиц, предприятие 2 – товары типов и в объеме 700 единиц, предприятие 3 – товары и в объеме 1000 единиц. Кроме того, пусть товары и уже вышли из моды и не пользуются спросом, а товары типов и покупаются только комплектами: одна единица товара и одна единица товара , причем прогнозируется спрос на 1000 таких комплектов.

Решение.

Общие возможности предприятий превосходят прогнозируемый спрос, и поскольку каждое предприятие заинтересовано в сбыте возможно большего количества продукции, налицо экономико-производственный конфликт. Если допустить, что предприятия могут заключать между собой соглашения и выплачивать друг другу компенсации в широко понимаемых единицах полезности, то данный конфликт моделируется кооперативной игрой трех лиц с побочными платежами, где . Для вычисления значений характеристической функции v будем измерять выигрыш числом реализованных единиц продукции, выпускаемых коалицией . Так как один из игроков и коалиция не могут производить комплексы, их продукция реализоваться не будет, и поэтому . Напротив, коалиции и выпустят соответственно 900 и 700 комплектов, т. е. будет реализовано (выиграно) соответственно единиц и единиц, а коалиция из всех трех предприятий выиграет единиц. Следовательно, характеристическая функция кооперативной игры записывается следующим образом:

(4)

или в (0-1)-редуцированной форме

(5)

Найдем с-ядро. На основании (1), (2) и (4) имеем

(6)

или для игры в (0-1)-редуцированной форме, принимая во внимание (3), получим:

(7)

Дележ , удовлетворяющий системе (6) или (7), принадлежит с-ядру.

Выбор одной из этих точек можно понимать как решение данной игры. Так, например, дележ принадлежит с-ядру. Согласно дележу , доли, которые должны получить предприятия 1, 2 и 3, соответственно равны 600, 200 и 1200.