22. Ряд Тейлора
Пусть ф-кция f(x)
явл. суммой степ. ряда f(x)=a0+a1(x-x0)+
a2(x-x0)2+…+an(x-
x0)n+
…=
(1). на (x0-R,
x0+R).
Тогда говорят, что f(x)
разл. в степ. ряд в окр. т. х0
или по степеням х-х0.
Найдем коэффициенты ряда (1). Для этого
согл. св-ву 4 степ. рядов необх.
последовательно продиф. ряд (1) и подставить
в найденные производные значения х =
х0.
f(x)=a0+a1(x-x0)+…
f(x0)=a0
f “(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…
f “(x0)=a1
f “ “(x)= 2a2+3*2a3(x-x0)+…
|=> f(n)(x)= n(n-1)…*2*1an+ (n+1)n(n-1)…2an+1(x-x0)+…
f(n)(x)=n!an
|=> a0=f(x0), a1=f ”(x0)/1!, a2=f “ “(x0)/2!, … , an=f(n)(x0)/n!
подставив значения коэфф. в равенство (1) получим
f(x) =
f(x0)+f
”(x0)(x-x0)/1!+
f “
“(x0)(x-x0)2/2!+…+
f(n)(x0)(x-x0)n/n!+…
=
(2), 0!=1, f(0)=f.
Опр. Ряд (2) наз. рядом Тейлора ф-кции f(x). Итак, доказана такая теорема :
Теорема 1: если ф-кция f(x) на (x0-R, x0+R) может быть разложена в степ. ряд, то этот ряд единственный и явл. рядом Тейлора данной ф-кции.
Замечание : пусть ф-кция f(x) – произвольная беск. число раз дифф. функция. Сост. для неё ряд (2). Оказывается, что сумма ряда (2) не всегда сходится с f(x). Иначе говоря, ряд (2) может сходится к другой ф-кции, а не к f(x), для которй он формально был составлен.
Установим условия, при кот. сумма ряда(2) сходятся с f(x).
Теорема 2
: чтобы ряд (2) сходился к f(x)
в (x0-R,x0+R)
чтобы в этом интервале f(x)
имела произв. всех порядков и остаточный
член её ф-лы Тейлора →0 при n→∞,
x
из этого интервала: limn→∞
Rn(x)
= 0,
x
(x0-R,x0+R).
(3) Док-во
: изв. что для f(x)
, кот. имеет производные всех порядков
, справ. ф-ла Тейлора :
+ Rn(x)(4),
где Rn(x)=f (n+1)(x0+Ө(x-x0))(x-x0)n+1/(n+1)!, 0<Ө<1 (5). Остаточный член ф-лы Тейлора в форме Лагранжа. Если n-ую частную сумму ряда (2) через Sn(x), то ф-лу (4) можно зап. в виде : f(x)=Sn(x) + Rn(x) (6). Пусть f(x)- сумма ряда (2), т.е. limb→+∞Sn(x)=f(x). Тогда из ф-лы (6) => св-во (3) и наоборот, если вып. условие (3), то из ф-лы (6) =>limb→+∞Sn(x)=f(x).
Замечание : непоср. проверка условий теоремы (2) нередко оказывается непростой задачей. Докажем теор., окт. даёт дост простое условия разл. ф-кций в ряд Тейлора.
Теорема 3
: если f(x)
на (x0-R,x0+R)
имеет производные всех порядков и
:
f
(n)(x)<M,
x
(x0-R,x0+R),n
/N(7)
то ф-кцию f(x)
можно разложить в ряд Тейлора.
Док-во : в соответствии с теоремой (2) достаточно проверить усл. (3). В силу нер-ва (7) остаточный член ф-лы Тейлора удовл. нер-во:
|Rn(x)|=|f
(n+1)(x0+Ө(x-x0))||(x-x0)|n+1/(n+1)!<M|x-x0|n+1/(n+1)!
(8) Составим степенной ряд:
(9)
Применим к ряду (9) признак д’Аламбера
: limn→∞Un+1(x)/Un(x)=
limn→∞[M|x-x0|n+2/(n+2)!
* (n+1)!/M|x-x0|n+1]=
limn→∞|x-x0|/n+2=0.
Поэтому степ.
ряд (9) сходится на /R.
Тогда для схоящегося ряда limn→∞Un+1(x)=
limn→∞M|x-x0|n+1/(n+1)!=0.
Из нер-ва (8) находим, перейдя к пределу
limn→∞Rn(x)=0,
x (x0-R,x0+R).
23. Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
Опр:
Рядом Макларена f(x)
назыв. степ. Ряд по степеням х , который
можно получить из ряда Тейлора f(x)
приняв
f(x)=f(0)+
+
+…+
=
(1).
Чтобы разложить ф-ю f(x)
в ряд Макларена необходимо: а)
найти
б)
вычислить значения их в т. х=0. в)записать
ряд Макларена (1) для данной ф-ции и найти
его интервал сходимости.
г)опр интервал
(-R;R)
в котором член
,
если
указ интервал существует то в этом
интервале f(x)
и сумма (1) сходятся. f(x)=
Рассм ряды Макларена
некоторых элем 1)ex=1+
+
+…+
+...+=
(2)
. Док-ство:
пусть f(x)=ex
а)
б)
в) по ф-ле (1) получим :
1+…+
+…+
+...;
R=
.
Найденный ряд сходится на
(-
;
)
исп. теор. (3) |f(n)
(x)|=|ex|=e|x|<eR
,
(-R;R).
Поэтому ex
можно разложить в степ. ряд на люб.
интервале
(-
;
)
2) sin(x)=
-
+
-…+(-1)n
=
(3). Док-ство
: пусть
f(x)=sin(x)
Имеем: а)
,
,
…
б)
=0,
n=0,2,4,6…
=1,
n=1,5,9…
=-1
,n=3,7,11…
в)
-
+
-…
+(-1)n
+…
R=
=
=
г) ряд сходится на
.
Док-ство:
=
≤1<
,
3)
cos(x)=1-
+
-…+
=
,
(4) . Д-ство :
как Ф-ла (3)
4) (1+x)m
= 1 +
+
+…+
+…=
(5) Док-ство:
пусть
f(x)=(1+x)m
а)
=m(1+x)m-1
=m(m-1)(1+x)m-2
…
=m(m-1)…
(m-n+1)(1+x)m-n
б)
=m(m-1)…(m-n+1)
,
в)1+
+
+
…+
+….
R=
=
=1
т.е. (-1;1) интервал
сходимости г)док-во того что
не приводим. Ряд (5) назыв биномиальным
.Если
получим
известное разложение – бином Ньютона.
сходимость бином ряда в конечн. точках
интервала зависит от точек. Ряд (5)
сходится к (1+x)m
в таких случаях : 1) при m≥0
x
є
[-1;1]
2) -1<m<0
x
є
(-1;1]
3) m≤-1
x
є
(-1;1)
без доказательства.
5) 1/(1+x) =1-x+x2-…+
(-1)nxn+…=
(6)
/ для док ф-лы (6) в ф. (5) взять показ степени -1.
6) 1/(1-x)= 1+x+x2+…+xn+…=
х є
(-1;1)
взять в ф-ле (6) –х
вместо х .если в ф-ле (6) проинтегрировать
почленно степ. ряд получим разложение
в степ ряд ln(1+x)
7)ln(1+x)=x-x2/2+x3/3+…+(-1)n-1xn/n+…=
x
є
(-1;1]
(8)