Тема 5. Специальные бинарные отношения.

1. Упорядочение и безразличие

Будем рассматривать бинарные отношения с точки зрения их использования для описания и организации выбора. Для этого необходимо построить отношения с соответствующим набором свойств. Для выбора надо, по крайней мере, уметь из 2-х сравниваемых элементов выбрать лучший, т.е. нужно построить отношение предпочтения, которое, как минимум, обладает свойством асимметричности.

Введем следующие отношения.

P_уп – отношение строгого упорядочения, обладающее свойством асимметричности.

I_уп – отношение безразличия (толерантности). Это отношение исключает P_уп между двумя элементами, т.е.

x I_уп y  ( xP_уп у и yP_уп x ). (1)

Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат P_уп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y. Если воспользоваться понятием пересечения отношений, то I_уп можно также представить в виде

I_уп =P_уп P^d_уп. (2)

Покажем, что I_уп рефлексивно и симметрично.

Симметричность. Отношение xI_упy означает, что (x, y)P_уп и (y, x)P_уп. Отношение же yI_упx означает, что (y, x)P_уп и (x, y)P_уп. То есть, xI_упy и yI_упx эквивалентны. Значит, I_уп симметрично.

Рефлексивность. Так как P_уп антирефлексивно (см. задание 1), то (x, x) P_уп и по определению (x, x)I_уп . Значит, I_уп рефлексивно.

Можно дать другое определение отношения I_уп, как симметричного, рефлексивного отношения.

На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение

R_уп = P_уп  I_уп , (3)

которое называется нестрогим упорядочением.

Докажем, что R_уп полно.

Доказательство. Возьмем любую пару (x, y). Для нее возможны три случая:

а) (x, y)P_уп; б) (y, x)P_уп; в) (x, y)P_уп и (y, x)P_уп, т.е. (x, y)I_уп.

Если имеют место случаи а) или в), то, по свойству объединения, (x, y) R_уп. Если выполняется б) или в), то (y, х)R_уп. Иными словами, в любом случае либо пара (x, y), либо (y, x) принадлежит R_уп. Значит, R_уп полно.

Свойство полноты можно принять в качестве определение отношения R_уп.

2. Слабый порядок

Введенное отношение строгого упорядочения обладает слишком малым набором свойств, чтобы его можно было применить для решения практических задач организации выбора. Поэтому, кроме асимметричности нужны другие свойства, например, транзитивность или негатранзитивность.

Def. Асимметричное, негатранзитивное отношение P_сл назовем слабым порядком.

Кроме того, по аналогии с I_уп введем отношение I_сл 

xI_слy  ( (x, y) P_сл и (y, x) P_сл )

или

xI_слy  ( (y, x)P_сл  и (x, y)P_сл ).

Назовем его отношением эквивалентности.

Рассмотрим свойства слабого порядка и эквивалентности.

1) Для любых x, yA выполняется одно и только одно из соотношений: xP_слy, yP_слx, xI_слy.

2) Отношение P_сл транзитивно.

3) Отношение I_сл рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Докажем транзитивность P_сл.

Пусть xP_слy и yP_слz, тогда в силу асимметричности P_сл, y x и z y. Предположим противное, что x z, тогда в силу негатранзитивности из x z и z y следует x y, что противоречит условию. Следовательно, xP_слz, т.е. P_сл – транзитивно.

Докажем свойство 3).

Ранее было доказано, что I_уп рефлексивно и симметрично. Аналогично доказывается рефлексивность и симметричность I_сл. Поэтому остается доказать транзитивность I_сл.

Пусть x, y, zA таковы, что xI_слy и yI_слz, покажем, что (x, z)I_сл. По определению I_сл, отношение xI_слy эквивалентно выполнению условий (x, y)P_сл и (y, x)P_сл, а отношение yI_слz – (y, z)P_сл и (z, y)P_сл. В силу негатранзитивности P_сл получим, что (x, z)P_сл и (z, x)P_сл. Следовательно, (x, z)I_сл по определению I_сл.

Замечание. Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности считают определяющими свойствами отношения эквивалентности.