4. Применение отношений в информационных технологиях

1. Реляционные базы данных. Как было сказано, любое конечное отношение удобно представить в виде прямоугольной таблицы, в ячейках которых помещаются элементы множеств А_i, составляющих отношение. Такое представление применяется для организации информационных массивов в базах данных (БД) реляционного типа (от английского relation – отношение). С точки зрения пользователя строки таблиц соответствуют записям, а столбцы – элементам записи с областью значений на множестве А_i. Каждая таблица обладает следующими свойствами:

- элемент таблицы (поле, параметр, реквизит, атрибут) соответствует элементу данных;

- каждый столбец однороден, т.е. его элементы однотипны;

- каждый столбец имеет уникальное имя;

- в таблице нет одинаковых строк.

Формальными прототипами процедур манипулирования с БД являются операции реляционной алгебры – набор специальных действий с отношениями – объединение, пересечение, композиция и пр.

2. Процедуры выбора. Всякая человеческая деятельность, будь это трудовой процесс, отдых, развлечения и т.д. имеет целевой характер. Важнейшей операцией, обязательно входящей в любой целенаправленный процесс, является выбор. Он возникает в тот момент, когда появляется вариантность дальнейших действий по достижению цели. Как любое научное понятие, выбор имеет соответствующую теорию, которая, как любая теория, начинается с языка описания. К настоящему времени сложилось три основных языка описания выбора:

- критериальный язык;

- язык бинарных отношений;

- язык функций выбора.

Каждый следующий из названных языков является определенным обобщением предыдущего.

Критериальное описание связано с предположением, что каждую отдельную альтернативу (способ действия) можно оценить конкретным числом – значением критерия, и сравнение альтернатив свести к сравнению соответствующих чисел.

Язык бинарных отношений, базируется на понятии бинарного отношения. В теории выбора и принятия решений большую роль играют бинарные отношения предпочтения, то есть такие отношения, согласно которым в паре (x, y)R элемент x в каком-то смысле лучше, чем y. Большая, нежели у критериального языка общность языка бинарных отношений основана на учете того факта, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно. Однако, если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то найдутся основания сказать, какая из них более предпочтительна. Элементы соответствующей теории выбора будут даны ниже.

5. Свойства бинарных отношений

1. Рефлексивность. Отношение R называется рефлексивным, если (х, х)R для любого хA. Примеры рефлексивных отношений: отношения "", "" на множестве R.

2. Антирефлексивность. Отношение R называется антирефлексивным, если (х, х)R для любого хA. Примеры антирефлексивных отношений: отношения "<", ">" на множестве R.

Если R – антирефлексивное отношение, то xG_R(x) и хH_R(x) для любого хA .

3. Симметричность. Отношение R называется симметричным, если для любых x, yA из того, что (x, y)R следует (y, x)R и обратно. Примеры симметричных отношений: отношения "=" и "".

Если отношение R симметрично, то для любого хA

а) G_R(x) = H_R(x); б) R = R^–1.

4. Антисимметричность. Отношение R называется антисимметричным, если для любых x и y из A из одновременного выполнения условий (x, y)R и (y, x)R следует, что x = y. Пример антисимметричного отношения. Пусть А – множество людей в данной очереди. Отношение R – "не стоять за кем-то в очереди" будет антисимметричным.

Пусть х = ВАСЯ, а y = ИВАНОВ. Тот факт, что (x, y)R означает, что "ВАСЯ не стоит в очереди за ИВАНОВЫМ", (y, x)R – "ИВАНОВ не стоит за ВАСЕЙ". Очевидно, что одновременное выполнение обоих включений может быть, только если ВАСЯ и есть ИВАНОВ, т.е. x = y.

Отношение "" также антисимметрично: если x  y и y  x, то x = y.

5. Асимметричность. Отношение R асимметрично, если R  R^-1= , т.е. пересечение отношения R с обратным отношением пусто.

Эквивалентное определение асимметричности: из двух отношений (x, y)  R и (y, x)R одно не выполняется.

Примеры асимметричных отношений: ">", "<", "быть начальником".

Если R – асимметричное отношение, то из xRy следует y x.

Для любого отношения R вводятся понятия симметричной части отношения R^s = R R^–1 и асимметричной части отношения R^a = R \ R^s. Если отношение R симметрично, то R= R^s, если отношение R асимметрично, то R = R^a.

Примеры. Если R – "", то R^–1 – "<", R^s – "=", R^a – ">".

6. Транзитивность. Отношение R транзитивно, если для любых x, y, zA из того, что (x, y)R и (y, z)R следует (x, z)R.

Свойства транзитивного отношения:

а) RoR  R;

б) для любого хA из yG_R(x) следует, что G_R(y)  G_R(x).

Не транзитивным является отношение "". Пусть x = 2, y = 3, z = 2, тогда справедливо x  y и y  z, но x = z, т.е. (x, z)R.

Отношение R₁ называется транзитивным относительно отношения R₂, если:

а) из (x, y) R₁ и (y, x) R₂ следует, что (x, z) R₁;

б) из (x, y) R₂ и (y, x) R₁ следует, что (x, z) R₁.

7. Негатранзитивность. Отношение R называется негатранзитивным, еслиR транзитивно.

Примеры. Отношения R₁ –">" и  R₂ –" " негатранзитивны, так как отношенияR₁ – "",R₂ – "=" транзитивны. Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R₁ одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R₂ , как известно, транзитивным не является.

8. Полнота. Отношение R полно, если для любых x, yА либо (x, y)R, либо (y, x)R, либо оба отношения выполняются одновременно.

Свойства полных отношений:

а) G_R(x)  H_R(x) = А для любого хA;

б) полное отношение рефлексивно.

9. Слабая полнота. Отношение R называется слабо полным, если для любых х  y из А или (x, y)R, или (y, x)R.

Пример слабо полного отношения. Пусть А – множество предприятий, "неблагополучных" в смысле своего бюджета. Отношение R "быть должным" является слабо полным, так как каждое из этих предприятий или кому-либо должно, или ему кто-то должен, но быть должным самому себе нельзя и (x, x)R.

10. Ацикличность. Бинарное отношение R ациклично, если Rⁿ R^–1=  для любого nN . Иными словами, если из любой конечной цепочки отношений х₁Rx₂, x₂Rx₃,..., x_n-1Rx_n следует, что x₁  х_n, то отношение R ациклично.

Связи между свойствами отношений

1. Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда R^d антисимметрично.

Доказательство. Пусть R слабо полно и x  y. Рассмотрим три случая.

1) (x, y)R.Тогда, по определению обратного отношения (y, x)R^-1, а по определению двойственного отношения – (y, x)R^d. 

2) (y, x)R, тогда (x, y)R^–1 и, следовательно, (x,y)R^–1 = R^d.

3) (x, y)R и одновременно (y, x)R. Отсюда, (y, х)R^d и (x, y) R^d.

Так как R – слабо полное отношение, то для любых x  y выполняется либо случай а), либо б), либо в). Ни в одном из этих случаев включения (x, y)R^d и (y, x)R^d не могут выполняться одновременно. Следовательно, отношение R^d антисимметрично.

Докажем, обратное, что из антисимметричности R^d следует слабая полнота отношения R. Рассмотрим эквивалентное определение антисимметричности. Если x  y, то либо (x, y)R^d и (y, x) R^d, либо (x, y)R^d и (y, x)R^d, либо (x, y)R^d и (y, x)R^d. В первом случае получим, что (x, y)R, во втором – (y, x)R, в третьем – (x, y)R и (y, x)R. Это утверждение означает, что отношение R слабо полно.

2. Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда R^d полно.

Доказательство. Пусть R – асимметрично. Тогда по определению, R R^–1 = . Рассмотрим два случая.

1) (x, y)R. Тогда (х, y)R^–1, значит, (x, y)R^d.

2) (x, y)R. Тогда (x, y)R и (y, x) R^–1 = R^d.

В любом случае либо (x, y)R^d, либо (y, x)R^d, а это означает, что R^d полно.

Докажем обратное следствие. Пусть R^d полно. Снова рассмотрим два случая:

а) (x, y)R^d, тогда (y, x)R;

б) (y, x)R^d, тогда (x, y)R.

Так как R^d полно, то либо случай а), либо случай б) всегда будет иметь место, а отсюда следует невозможность одновременного выполнения yRx и xRy. Это означает, что R асимметрично.

Задание 1. Доказать, что асимметричное отношение антирефлексивно.

Задание 2. Доказать, что ацикличное отношение асимметрично.

Задание 3. Доказать, что если отношение антирефлексивно и транзитивно, то оно ациклично.