Питання для самоперевірки та вправи

1. Дайте означення цикломатичного та хроматичного чисел графа. Наведіть приклади.

2. Доведіть теорему 24.1.

3. Який граф називається однозначно фарбованим ? Навести приклад.

4. Які теореми дають оцінки для хроматичного числа графа ?

5. має кліку з вершин тоді і тільки тоді, коли його хроматичне число = . Довести.

6. Якщо -дерево, то =2. Довести.

7. Нехай - довжина самого довгого простого ланцюга в графі .Показати, що .

Лекція №25 Мережі

Мережею називається скінчений граф без циклів і петель, орієнтований в одному загальному напрямі від вершин множини , які являються входами графа, до вершин , які являються виходами.

При цьому для кожної вершини напівступінь заходу, а для кожної вершини напівступінь виходу дорівнює 0.

Рис. 25.1 – Приклад мережі

Граф, зображений на малюнку 25.1 являється мережею з двома входами і трьома виходами . Очевидно, що для входів і виходів графа справедливі вирази: і , де - множина ребер, що входять в вершини множини , - множина ребер, що виходять з вершин множини .

Транспортна мережа – це мережа, що характеризується трьома ознаками:

1. Вона має тільки один вхід.

2. Вона має тільки один вихід.

3. Кожному ребру такого графа відповідає деяке ціле додатнє число , яке називається пропускною спроможністю дуги.

Граф, що представляє собою транспортну мережу, позначається .

Рис. 25.2 - Приклад транспортної мережі

З транспортною мережею тісно пов’язане поняття потоку, під яким розуміють деяку функцію , яка задовольняє наступним умовам:

1.

2.

3. .

Це означає, що потік по ребру , по-перше, цілочислене додатнє число, по-друге, він не перевищує пропускної спроможності даного ребра, по –третє, сума потоків, що заходять в деяку вершину (яка не являється входом або виходом), дорівнює сумі потоків, що виходять з цієї вершини.

Потік по ребру можна порівняти з кількістю деякої речовини, що по ньому протікає в одиницю часу, тоді третя умова являється, по суті, умовою збереження потоку, що виражається в тому, що в проміжних вершинах потоки не створюються і не зникають.

Розріз мережі

Всю множину вершин транспортної мережі завжди можна розбити на дві підмножини і , такі, що:

Отже, в підмножині знаходиться вхід мережі і деякі проміжні вершини, усі інші вершини і вихід мережі знаходяться в підмножині .

Множина дуг , які заходять в , називається розрізом мережі, а сума пропускних спроможностей цих дуг складає пропускну спроможність розрізу .

В кожній транспортній мережі можна виділити декілька різних розрізів, які мають різну пропускну спроможність.

Для мережі, зображеної на малюнку 10.2 виділимо, наприклад, три розрізи і визначимо їх пропускну спроможність.

Розріз 1.

Розріз 2.

Розріз 3.

Потік , який проходить по даній дузі, не може перевищувати пропускну спроможність дуги і, отже, його максимальною величиною являється . У цьому випадку дуга називається насиченою.

З усіх розрізів транспортної мережі можна виділити розріз, якому властива найменша пропускна спроможність , тобто розріз мінімальної велечини.

Якщо представити, що по транспортній мережі йде потік, який насичує усі дуги мінімального розрізу, то очевидно, що через дану мережу неможливо пропустити потік більшої величини, оскільки такий потік не може пройти через мінімальний розріз – не дозволяє пропускна спроможність мінімального розрізу.

Теорема 10.1 (Форда, Фалкерсона) Максимальний потік в мережі дорівнює мінімальній пропускній спроможності розрізу.

Ф