Питання для самоперевірки та вправи

1. Дайте визначення дерева, лісу.

2. Які основні властивості дерева ? Доведіть.

3. Доведіть ствердження: “будь-яке нетривіальне скінчене дерево має хоча б дві кінцеві вершини і одне кінцеве ребро”.

4. Дайте визначення таким поняттям: ексцентриситет, центр, центроїд.

5. Чому центр дерева складається з однієї вершини, або з двох суміжних вершин ? Доведіть.

6. Доведіть теорему 23.3.

7. Доведіть нерівність для будь-якого зв’язного графа .

8. Довести, що наступні ствердження еквівалентні для будь-якого зв’язного графа:

(1) - одноциклічний граф;

(2) - зв’язний і ;

(3) для деякого ребра графа граф є деревом;

(4) - зв’язний і множина його ребер, які не являються мостами, утворюють простий цикл.

9. Довести, що якщо в графі , який має принаймні 3 вершини, число висячих вершин дорівнює числу ребер, то - незв’язний або дерево.

Змістовий модуль 6. Алгоритми на графах Лекція №24. Фарбування графів

Хроматичне число

Однозначне пофарбування графа

Теореми про фарбування графів

Теореми що встановлюють зв’язок між зв’язністю та пофарбуванням графа

Деякі числа теорії графів

Розглянемо граф з вершинами і ребрами, який має компонент зв’язності. Тоді цикломатичне число графа визначається рівнянням .

Властивості цикломатичного числа:

1. Цикломатичне число графа дорівнює найбільшій кількості незалежних циклів в графі.

Наприклад:

Граф не має циклів тоді і тільки тоді , коли . Граф має єдиний цикл, коли .

2. .

Фарбуванням графа називають таке приписування кольорів його вершинам, що ніякі дві суміжні вершини не одержують однакового кольору. Множина усіх вершин однакового кольору являється незалежною і називається однокольоровим класом.

В - пофарбуванні графа використовується кольорів і, таким чином, це пофарбування розбиває множину вершин на однокольорових класів.

Хроматичне число графа визначається як найменше , для якого граф має -пофарбування.

Оскільки граф , очевидно має - пофарбування і - пофарбування, він повинен мати також - пофарбування для будь-якого , яке задовольняє нерівність .

Рис. 24.1 – Приклад 2-хроматичного графа

На малюнку 24.1 також приведені - пофарбування для .

Легко знайти хроматичні числа деяких відомих графів.

,

Теорема 24.1 Граф двохкольоровий тоді і тільки тоді, коли він не має непарних простих циклів.

Однозначне пофарбування графів

Нехай - помічений граф і кожне його - пофарбування породжує розбивку множини його вершин на однокольорових класів.

Якщо і кожне - пофарбування графа породжує одну і ту саму розбивку , то називається однозначно - фарбованим графом.

Наприклад:

Представлений граф однозначно 3-фарбуємий граф, оскільки кожне його 3-пофарбування дає розбивку .

П’ятикутник не однозначно 3-фарбуємий. Можливі 5 різних розбивок множини його вершин.

і так далі, є ще 3 розбивки.

Не важко помітити, що в будь-якому - пофарбуванні однозначно - фарбованого графа кожна вершина суміжна принаймні з однією вершиною кожного кольору, відмінного від кольору вершини . Якщо б це було не так, то можна було б одержати інше - пофарбування графа , перефарбувавши вершину .

Звідси слідує, що . Отже, знаючи , ми можемо оцінити .

Характеристику двох-кольорового графа дає теорема 9.1.

Для не знайдені ефективні методи знаходження хроматичного числа, відомо лише декілька оцінок для в яких використовуються інші інваріанти.

Розглянемо верхні оцінки:

Теорема 24.2 Для будь-якого графа , де максимум береться по всім породженим підграфам графа .

Наслідок Для будь-якого графа хроматичне число не більше ніж на 1 перевищує максимальну ступінь: .

Теорема 24.3 Якщо , то завжди -фарбуємий за винятком двох випадків:

1. і має компоненту, яка є непарним циклом.

3-фарбуємий, хоча .

2. і - компонента .

Верхня та ніжня оцінки пов’язані теоремою:

Теорема 24.4 Для будь-якого графа справедлива нерівність ,

де - вершинне число незалежності графа .

Доведення:

Якщо , то можна розбити на однокольорових класів , кожний з яких являється незалежною множиною вершин (усі вершини попарно не суміжні).

Якщо , то для усіх , так що .

Для перевірки верхньої оцінки розглянемо максимальну незалежну множину , яка складається з вершин. Ясно, що .

Оскільки має вершин, то хроматичне число такого графа: . Звідси:

Теорема 24.5 В - пофарбуванні однозначно - фарбованого графа підграф, породжений об’єднанням будь-яких однокольорових класів, зв’язний.

Ця теорема виражає необхідну умову однозначного пофарбування графа.

Доведення:

Розглянемо - пофарбування однозначно фарбованого графа і припустимо, що існують такі два однокольорові класи графа , скажімо і , що підграф , породжений об’єднанням і , незв’язний.

Нехай і - дві компоненти підграфа . З приведених вище зауважень слідує, що кожна компонента повинна мати як вершини з , так і вершини з .

Тепер можна одержати - пофарбування, відмінне від даного, помінявши кольори вершин з множини з кольорами вершин з множини .

Отже, не однозначно - фарбований, що суперечить умові.

Ствердження обернене теоремі не вірне.

Теорема 9.6 Кожний однозначно - фарбований граф - зв’язний.

Доведення:

Нехай задано - пофарбування однозначно - фарбованого графа . Якщо - повний граф, то він - зв’язний. Припустимо, що не повний, тоді він не - зв’язний, тоді існує множина , яка містить вершини (або ще менше), вилучення яких робить незв’язним. Тому існує, як мінімум, два кольори, нехай і , які не приписані вершинам множини . По теоремі 24.5 вершина кольору з’єднана простим ланцюгом з вершиною кольору , тому усі вершини кольору і створюють зв’язну компоненту графа , назвемо її . Тому можна одержати інше пофарбування перефарбувавши будь-яку вершину, яка не належить , в кольор або , а це суперечить тому, що - однозначно - фарбований граф. Таким чином - - зв’язний.

Зауваження. Об’єднання будь-яких однокольорових класів однозначно - фарбованого графа породжує однозначно - фарбований граф, то з теореми 24.6 випливає наслідок.

Наслідок. В будь-якому - пофарбуванні однозначно - фарбованого графа підграф, породжений об’єднанням будь-яких однокольорових класів , - зв’язний.