Гамільтонові графи

Якщо в є простий остовний цикл , то називається гамільтоновим графом, а - гамільтоновим циклом. Зараз не відомо ефективних описів гамільтонових графів, але відомо тільки декілька необхідних та декілька достатніх умов існування гамільтонових циклів.

Теорема 22.2 Кожний гамільтонів граф двох-зв’язний.

Теорема 22.3 (теорема Дірака) Якщо в графі для будь-якої вершини ступінь , то граф називається гамільтоновим.

Доведення:

Від супротивного. Нехай - не гамільтоновий граф. Додамо до мінімальну кількість нових вершин , і з’єднаємо їх зі всіма вершинами так, щоб граф , який ми одержимо в результаті, був гамільтоновим.

Нехай - гамільтонів цикл графа , причому , .

Така пара в гамільтоновому циклі завжди знайдеться, інакше був би гамільтоновим.

Тоді і не належить множині вершин , інакше вершина була б не потрібна. Більш того, вершина не суміжна з , інакше була б не потрібна. Далі, якщо в циклі є вершина суміжна з вершиною , то не суміжна з вершиною , оскільки в противному разі можна було б побудувати гамільтонів цикл без вершини .

Звідси слідує, що число вершин графа , не суміжних з , не менше числа вершин суміжних з .

Для будь-якої вершини графа попобудові, для вершини - аналогічно . Загальна кількість вершин суміжних і несуміжних з .

Таким чином маємо:

Прийшли до протиріччя.

Рис. 22.1 - Приклади гамільтонових і ейлерових графів.

Питання для самоперевірки та вправи

1. Який граф називається ейлеровим ?

2. Які основні властивості ейлерових графів ? Доведіть.

3. Який граф називається гамільтоновим ?

4. Які ознаки гамільтонових графів вам відомі ?

5. Чи являються ейлеровими, гамільтоновими чи тими і іншими графи, зображені на рис. 22.1 ?

6. Показати, що в є різних гамільтонових циклів.

7. Довести, що найбільша кількість ребер уграфів, які мають вершин і не мають трикутників дорівнює .

Лекція №23. Дерева

Означення дерева, ліса

Центри і центроїди

Теореми про граф – дерево

Граф називається ациклічним, якщо в ньому немає циклів.

Дерево – це зв’язний ациклічний граф.

Кожний граф, який не має циклів називається лісом. Компонентами лісу являються дерева.

Рис. 23.1 – приклади дерев та лісу.

Теорема 23.1 Для графа наступні ствердження еквівалентні:

(1) - дерево;

(2) будь-які дві вершини в з’єднані єдиним простим ланцюгом;

(3) - зв’язний граф і ;

(4) - ациклічний граф ;

(5) - ациклічний граф і якщо будь-яку пару несуміжних вершин з’єднати ребром , то в графі буде точно один простий цикл.

Доведення:

: Оскільки - зв’язний, то будь-які дві його вершини з’єднані простим ланцюгом. Нехай і - два різних простих ланцюга, що з’єднують вершини і , і нехай - перша вершина, що належить , така, що , . Але вершина, яка їй передує не належить і ми одержуємо два простих цикли, .

Якщо ж спільними для і є тільки вершини і , то все рівно одержимо цикл - одержали протиріччя, оскільки дерево – це ациклічний граф.

: Співвідношення доведемо по індукції. Ствердження очевидне для графів з одною і двома вершинами.

Припустимо, що воно вірне для графів, які мають менше вершин. Якщо ж граф має вершин, то вилучення з нього будь-якого ребра робить його незв’язним в силу того, що будь-які дві вершини графа з’єднані єдиним простим ланцюгом.

Більш того, граф, який ми одержуємо, має в точності дві компоненти зв’язності і в кожній з них менше, ніж вершин.

В кожній компоненті вершин на одну більше, ніж ребер, по індукційному припущенню.

Тоді для графа справедливо:

, але , а , отже,

: Припустимо, що в графі є простий цикл довжини . Цей цикл має вершин і ребер. А для будь-якої з вершин, які не належать циклу, існує інцидентне їй ребро, яке належить геодезичній, яка йде від деякої вершини циклу.

Усі такі ребра попарно різні. З цього слідує, що . Прийшли до протиріччя. Отже, в графі немає циклу.

: - ациклічний граф. З цього слідує, що будь-які дві його вершини з’єднані єдиним простим ланцюгом.

Нехай будь-які вершини і мають геодезичну більшу, ніж 1. Тоді, якщо долучити ребро , то ребро разом з простим ланцюгом, що з’єднує , створює простий цикл, який також єдиний.

Означення 23.1 Вершина називається кінцевою (або висячою), якщо її ступінь дорівнює 1, тобто існує єдине ребро, яке інцидентне . Таке ребро називається кінцевим.

Оскільки для будь-якого графа справедлива формула:

,

то для дерева формула приймає вигляд:

Очевидне ствердження: будь-яке нетривіальне скінчене дерево має хоча б дві кінцеві вершини і одне кінцеве ребро.

Доведення:

Оскільки дерево – це зв’язний нетривіальний граф, то не існує вершини, ступінь якої дорівнює 0. А отже, мінімальна ступінь .

Але в скінченому графі кількість вершин непарного ступеню парна.

Центри і центроїди

Ексцентриситет вершини в зв’язному графі визначається як по всім вершинам в графі .

Радіусом називається найменший з ексцентриситетів вершин.

Відмітимо, що найбільший з ексцентриситетів дорівнює діаметру графа.

Вершина називається центральною вершиною графа , якщо .

Центр графа - це множина усіх центральних вершин.

Рис. 23.2 – граф з центральними вершинами і .

Біля кожної вершини позначений її ексцентриситет.

Центр складається з двох вершин і .

Теорема 23.2 Кожне дерево має центр, який складається або з однієї вершини, або з двох суміжних.

Доведення:

Ствердження очевидне для дерев і :

Покажемо, що у будь-якого дерева ті самі центральні вершини, що і у дерева , одержаного з вилученням усіх його висячих вершин.

Ясно, що відстань від даної вершини дерева до будь-якої іншої вершини може досягати найбільшого значення тільки тоді, коли - висяча вершина.

Таким чином, ексцентриситет кожної вершини дерева точно на одиницю менше ексцентриситету цієї ж вершини дерева . Звідки слідує, що вершини дерева , які мають найменший ексцентриситет в співпадають з вершинами, що мають найменший ексцентриситет в . Таким чином, центри в і співпадають.

Якщо продовжити процес вилучення висячих вершин, то ми одержимо послідовність дерев з тим самим центром, що і у дерева .

В силу скінченності графа ми обов’язково прийдемо або до , або до .

Таким чином, в будь-якому випадку всі вершини дерева, одержані таким способом, утворюють центр дерева , який складається або з єдиної вершини, або з двох суміжних.

Гілка до вершини дерева - це максимальне піддерево, яке містить , як висячу вершину. Таким чином, число гілок до дорівнює .

Вага вершини дерева визначається кількістю ребер у найбільшій гілці до вершини .

Рис. 23.3 – приклад графа з зваженими вершинами.

Біля вершин позначена вага для кожної не висячої вершини. Ясно, що вага кожної висячої вершини дорівнює кількості ребер в дереві, а саме 14.

Вершина називається центроїдною вершиною дерева , якщо має найменшу вагу.

Центроїд дерева складається з усіх таких вершин.

Теорема 23.3 Кожне дерево має центроїд, який складається або з однієї вершини, або з двох суміжних вершин.