Питання для самоперевірки та вправи

1. Розкрийте поняття зв’язності та реберної зв’язності.

2. Чому повний граф неможливо зробити незв’язним ?

3. Який граф називається - зв’язним ?

4. Серед усіх графів з вершинами і ребрами найбільша зв’язність дорівнює 0, якщо , і дорівнює , якщо . Довести.

5. Довести, що будь-який - зв’язний граф має, принаймні, ребер.

6. Показати, що в графі з вершинами і компонентами зв’язності число ребер не більше ніж .

7. Довести, що в зв’язному графі будь-які два прості ланцюги максимальної довжини мають принаймні одну спільну вершину.

8. Довести, що, якщо - незв’язний граф, то -зв’язний.

Змістовий модуль 5. Спеціальні графи Лекція №21. Двохдольні графи

Умови існування двохдольного графа

Теореми про двохдольні графи

Означення21.1 Двохдольний граф (біграф) – це граф, множина вершин якого може бути розбита на дві підмножини і так, що будь-яке ребро графа з’єднує вершини з різних множин.

Якщо граф має усі ребра, які з’єднують множини і , то цей граф називається повним двохдольним.

Якщо при цьому в множині вершин, а в - вершин, то такий граф будемо позначати .

В такому графі ребер.

Теорема21.1 Граф являється двохдольним тоді і тільки тоді, коли всі його прості цикли парні.

Доведення:

Необхідність. - двохдольний, тоді множину його вершин можна розбити на дві підмножини і кожне ребро графа з’єднує деяку вершину з множини з деякою вершиною з .

Тому кожний простий цикл графа містить вершини з і з .

Позначимо усі вершини множини непарними номерами, а вершини множини - парними. Тоді довжина циклу буде парним числом.

Достатність. Візьмемо будь-яку вершину з множини і позначимо через підмножину, що складається з і усіх вершин, які знаходяться на парній відстані від вершини ; Підмножина .

Оскільки усі прості цикли графа парні, то кожне його ребро з’єднує множини і .

Якщо це не так і існує ребро , яке з’єднує дві вершини з , то об’єднання простих найкоротших ланцюгів, які йдуть з вершини до вершини , а також з вершини до вершини разом з ребром утворюють цикл непарної довжини. Прийшли до протиріччя.

Питання для самоперевірки та вправи

1. Який граф називається двохдольним ?

2. Які основні властивості двохдольних графів ?

3. Сформулюйте достатні та необхідні умови основних властивостей графа.

Лекція №22. Обходи графів

Ейлерові графи. Теореми

Гамільтонові графи. Теореми

Обчислення ейлеревих та гамільтонових графів

Задачу про про кенігсбергські мости Ейлера можна узагальнити. Чи можна знайти в даному графі цикл, який містить усі вершини і усі ребра графа . Граф, в якому це можливо, називається ейлеровим. Таким чином, ейлеровий граф має ейлеровий цикл - замкнутий ланцюг, який містить усі вершини і усі ребра. Ясно, що ейлеровий граф повинен бути ним.

Теорема 22.1 Для зв’язного графа наступні ствердження еквівалентні:

(1) - ейлеровий граф;

(2) будь-яка вершина графа має парну ступінь;

(3) множину ребер графа можна розбити на прості цикли

Доведення:

. Нехай - ейлеровий цикл. Будь-яке проходження вершини в вносить двійку в ступінь цієї вершини і оскільки будь-яке ребро графа з’являється в точності один раз в , будь-яка вершина повинна мати парну ступінь.

. Оскільки будь-яка вершина має парну ступінь, то ця ступінь по меншій мірі дорівнює 2, а отже, має простий цикл .

Вилучення ребер циклу приводить до остовного підграфа , в якому кожна вершина також має парну ступінь. Якщо в немає ребер, то (3) вже доведено, в противному разі застосуємо все вище сказане до і одержимо і так далі. Одночасно з графом (порожнім), одержуємо розбиття ребер графа на простих циклів.

. Нехай - один з простих циклів такого розбиття. Якщо складається тільки з цього циклу, то - ейлеровий граф. Припустимо, що є ще цикл . Тоді і мають спільну вершину . Маршрут, який починається з і складається з циклу , а потім циклу - ейлеровий цикл і так далі.