Питання для самоперевірки та вправи

1. Дайте визначення поняттям: точка сполучення, міст, блок.

2. Які основні властивості точки сполучення ? Доведіть.

3. Які основні властивості моста ? Доведіть.

4. Чому в будь-якому графі завжди знайдуться хоча б дві вершини, які не являються точками сполучення ? Доведіть.

5. Довести, що, якщо - точка сполучення графа , то не являється точкою сполучення графа .

6. Довести, що якщо граф - блок, то будь-які вершини графа належать деякому спільному простому циклу.

Лекція №20. Зв’язність

Вершинна та реберна зв’язність.

Теореми про зв’язність графа.

Теорема Менгера в “вершинній формі ”.

Виділення компонент зв’язності.

При дослідженні питання про те, який з графів більше зв’язаний, корисні два інваріанта, які називаються зв’язністю і реберною зв’язністю.

Зв’язністю графа називають найменше число вершин, вилучення яких приводить до незв’язного або тривіального графа.

З означення слідує, що зв’язність незв’язного графа дорівнює 0, а зв’язність графа, який має точку сполучення, дорівнює 1.

Повний граф неможливо зробити незв’язним, скільки б вершин ми з нього не вилучали. Після вилучення вершин, ми приходимо до тривіального графа, тому зв’язністю такого графа дорівнює . називають ще вершинною зв’язністю.

Аналогічно, реберна зв’язність графа визначається як найменша кількість ребер, вилучення яких приводить до тривіального або незв’язаного графа.

Ясно, що , а реберна зв’язність зв’язаного графа, який має міст дорівнює 1.

Граф називається - зв’язним, якщо , і - реберно зв’язним, якщо .

Нетривіальний граф однозв’язний тоді і тільки тоді, коли він зв’язний і двох зв’язний тоді і тільки тоді, коли він являється блоком і має більше одного ребра.

Теорема 20.1 Якщо граф - зв’язний , то будь-яка множина, що містить вершин графа , належить простому циклу.

В 1927 році Менгер показав, що зв’язність графа має відношення до числа простих ланцюгів, що не перетинаються, які з'єднують різні вершини графа.

З того часу з’явилося багато варіантів та узагальнень результата Менгера.

Нехай і - дві різні вершини зв’язного графа . Два простих ланцюги, які з’єднують і , називаються неперетинаючимися, якщо у них немає спільних вершин,відмінних від і (а отже, немає і спільних ребер).

Теорема 20.2 (теорема Менгера в вершинній формі). Найменше число вершин, які розділяють дві несуміжні вершини і дорівнює найбільшому числу неперетинаючихся -ланцюгів. Тобто .

Доведення:

Найменший граф, який задовольняє умові теореми, має . Нехай ствердження вірне для усіх графів з числом вершин менше, ніж . Розглянемо граф з вершинами. Нехай - мінімальна множина, яка розділяє і . .

1 випадок. Усі вершини множини суміжні з і . Розглянемо граф . Вершина - це вершина, яка лежить на одному з ланцюгів, що з'єднують і . В графі вершин менше, ніж , тому застосуємо індукційне припущення . Отже, в графі .

2 випадок. В множині є вершини, які не суміжні ні з ні з . розпадається на два підграфа і . Створимо граф , стягуючи до вершини і , стягуючи до вершини . як і раніше залишається найменшою розділяючою множиною для і як в так і в (по побудові) . і мають вершин менше, ніж , тому по індукційному переходу . з'єднують

3 випадок. Усі вершини множини суміжні з , окрім однієї - , яка суміжна з і . Розглянемо . Подальші міркування такі самі, як і в випадку 1.

4 випадок. Усі вершини множини суміжні тільки з . Доведення аналогічне випадку 2.

Теорема 20.3 Граф - зв’язний тоді і тільки тоді, коли будь-яка пара його вершин з’з'єднана принаймні - вершинно неперетинаючимися ланцюгами.

Як приклад застосування понять зв’язності і реберної зв’язності доведемо нерівність .

Розв’язок:

Перевіримо спочатку другу нерівність. Якщо в немає ребер, то . Якщо ребра є, то незв’язний граф одержуємо з даного, вилучаючи усі ребра, які інцидентні вершині з мінімальним степенем, тобто , якщо ж існує міст, то .

Розглянемо першу нерівність.

Випадок 1. - незв’язний отже, .

Випадок 2. - зв’язний і має міст , отже, .

Випадок 3. . Ясно, що вилучаючи ребро, одержуємо граф, який має міст .Припустимо, що кожному ребру поставили у відповідність одну інцидентну з ним вершину, яка відмінна від і . Вилучення вершини приведе до вилучення, як мінімум ребра. Якщо одержали незв’язний граф, то , якщо ж зв’язний, то .