Корреляционная таблица
При
большом числе наблюдений одно и то же
значение
может встретиться 
раз, одно и то же значение
- 
раз, одна и та же пара чисел 
может наблюдаться 
раз. Поэтому данные наблюдений группируют,
т.е. подсчитывают частоты
,
.
Все сгруппированные данные записывают
в виде таблицы, которая называется
корреляционной.
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
Для определения параметров уравнения прямой линии регрессии Y на X была получена система уравнений
(3)
Для простоты записи опустим индексы
(3a)
При выводе этой системы предполагалось, что значения X и соответствующие им значения Y встречались по одному разу. Если дана корреляционная таблица, то до применения системы (3а) предварительно заметим, что из раннее выведенных формул
=
(учтено, что пара чисел 
наблюдалась 
раз).
Подставив правые части тождеств в систему (3а) получим:
(4)
Из
второго уравнения найдём
,
предварительно сократив на
,
и подставим в уравнение 
,
получим
.
(5)
Для
определения 
второе уравнение умножим на 
и вычтем из первого:
.
Учитывая,
что 
, получим 
.
Умножим
обе части равенства на дробь 
:
(6).
Обозначим правую часть равенства (6) через
тогда равенство (6) примет вид
Откуда
. Подставив значение
в (5), окончательно получим выборочное
уравнение прямой линии регрессии Y
на X:
где - выборочный коэффициент корреляции.
Если
величины Y
и X
независимы, то 
=0;
если
связаны линейной функциональной
зависимостью, то 
.
Отсюда следует, что
измеряет тесноту линейной связи между
Y
и X.
Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведённым в корреляционной табл.1.
Таблица 1
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При определении выборочного уравнения прямой линии регрессии основная задача сводится к определению . Для упрощения расчётов на практике переходят к условным вариантам
Составим корреляционную табл. 2 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей
Таблица 2
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле (при этом величина не изменится)
Величины
можно найти методом произведений или
вычислить непосредственно исходя из
определений этих величин:
Для
определения 
найдём предварительно 
и 
:
тогда
Остаётся
указать способ вычисления 
,
где 
- частота пары условных вариант 
.
Можно доказать, что справедливы формулы:
Для контроля целесообразно выполнить расчёты по обеим формулам и сравнить результаты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.
Для вычисления составим расчётную табл. 3.
Пояснения к составлению табл.3:
В
каждой клетке, в которой частота 
,
записывают в правом верхнем углу
произведение частоты
на варианту 
.
Например, в правых верхних углах клеток
первой строки записаны произведения:
4
.
Складывают
все числа, помещённые в правых верхних
углах клеток одной строки и их сумму
записывают в клетку этой же строки
столба 
.
Например, для первой строки 
Умножают
варианту 
на
и полученное произведение записывают
в последнюю клетку той же строки 
.
Например, в первой строке таблицы 
следовательно 
.
Сложив
все числа столбца
,
получают сумму 
,
которая равна искомой сумме
.
Например, в нашем случае 
,
следовательно 
Для
контроля аналогичные вычисления
производят по столбцам: произведения
записывают в левый нижний угол клетки,
содержащей частоту
;
все числа, помещённые в левых нижних
углах клеток одного столбца, складывают
и их сумму записывают в строке V;
далее умножают каждую варианту
на V
и результат записывают в клетках
последней строки.
Сложив
все числа последней строки, получают
сумму 
,
которая также равна
Найдём выборочный коэффициент корреляции:
Найдём шаги
Найдём
Подставив найденные величины в уравнение
получим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X: