Оценка адекватности и точности построенной модели
На практике проверка гипотезы о нормальности распределения остатков зачастую затруднена из-за небольшой длины временных рядов экономических показателей (n < 50). Поэтому проверка на нормальность распределения может быть проведена приближенно, например, на основе подхода, опирающегося на рассмотрение показателей асимметрии и эксцесса.
Как известно, при нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии (А) и эксцесса (Э), а также оценить их средние квадратические ошибки, зависящие от длины ряда n:
.
Если выполняется хотя бы одно из неравенств:
,
то гипотеза о нормальном распределении
остатков отвергается.
Составим вспомогательную таблицу для расчета асимметрии и эксцесса.
t |
yt,руб. |
Расчетные значения yt |
Е |
E2 |
E3 |
Е4 |
1 |
3374 |
3407,265 |
-33,2654 |
1106,585 |
-36811 |
1224531 |
2 |
3443 |
3462,181 |
-19,1809 |
367,906 |
-7056,76 |
135354,8 |
3 |
3434 |
3435,714 |
-1,71362 |
2,936494 |
-5,03203 |
8,622994 |
4 |
3437 |
3436,731 |
0,2689 |
0,072307 |
0,019443 |
0,005228 |
5 |
3696 |
3770,915 |
-74,9154 |
5612,313 |
-420449 |
31498062 |
6 |
3809 |
3897,51 |
-88,5099 |
7833,998 |
-693386 |
61371524 |
7 |
3879 |
3932,944 |
-53,9436 |
2909,914 |
-156971 |
8467600 |
8 |
4005 |
3986,086 |
18,9139 |
357,7356 |
6766,176 |
127974,8 |
9 |
4402 |
4362,617 |
39,38263 |
1550,991 |
61082,1 |
2405574 |
10 |
4646 |
4521,782 |
124,2181 |
15430,14 |
1916703 |
2,38E+08 |
11 |
4630 |
4580,009 |
49,99138 |
2499,138 |
124935,4 |
6245691 |
12 |
4693 |
4646,167 |
46,8329 |
2193,321 |
102719,6 |
4810655 |
13 |
5083 |
5025,938 |
57,06163 |
3256,029 |
185794,3 |
10601725 |
14 |
5187 |
5178,564 |
8,436125 |
71,16821 |
600,3839 |
5064,913 |
15 |
5198 |
5220,476 |
-22,4756 |
505,1535 |
-11353,6 |
255180,1 |
16 |
5144 |
5260,542 |
-116,542 |
13582,06 |
-1582882 |
1,84E+08 |
17 |
5518 |
5604,443 |
-86,4434 |
7472,457 |
-645944 |
55837615 |
18 |
5625 |
5711,423 |
-86,4229 |
7468,913 |
-645485 |
55784666 |
19 |
5707 |
5697,912 |
9,08838 |
82,59865 |
750,6879 |
6822,537 |
20 |
5902 |
5672,777 |
229,2229 |
52543,14 |
12044090 |
2,76E+09 |
А=1,03844; Э=343,9329.
|343,9329+6/21|≥2*
;
344,2186≥1,55215, следовательно, гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.
Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:
.
Алгоритм выявления
автокорреляции остатков на основе
критерия Дарбина-Уотсона следующий.
Выдвигается гипотеза
об отсутствии автокорреляции остатков.
Рассчитанное значение DW
сравнивается с нижним
и
верхним
критическими
значениями критерия, определяемыми по
статистическим таблицам.
Далее делается вывод об автокорреляции:
Если
– положительная автокорреляция
остатков,
отвергается;Если
или
,
то нельзя сделать определенный вывод
об автокорреляции;Если
,
гипотеза
принимается;Если
– отрицательная автокорреляция
остатков,
отклоняется;Если d=2, то автокорреляция отсутствует.
Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .
Составим таблицу для расчета критерия Дарбина-Уотсона:
t |
yt,руб. |
Расчетные значения yt |
Е |
E2 |
E(t)-E(t-1) |
(E(t)-E(t-1))2 |
1 |
3374 |
3407,265 |
-33,2654 |
1106,585 |
|
|
2 |
3443 |
3462,181 |
-19,1809 |
367,906 |
14,0845 |
198,3731 |
3 |
3434 |
3435,714 |
-1,71362 |
2,936494 |
17,46726 |
305,105 |
4 |
3437 |
3436,731 |
0,2689 |
0,072307 |
1,98252 |
3,930386 |
5 |
3696 |
3770,915 |
-74,9154 |
5612,313 |
-75,1843 |
5652,675 |
6 |
3809 |
3897,51 |
-88,5099 |
7833,998 |
-13,5945 |
184,8104 |
7 |
3879 |
3932,944 |
-53,9436 |
2909,914 |
34,56626 |
1194,826 |
8 |
4005 |
3986,086 |
18,9139 |
357,7356 |
72,85752 |
5308,218 |
9 |
4402 |
4362,617 |
39,38263 |
1550,991 |
20,46873 |
418,9687 |
10 |
4646 |
4521,782 |
124,2181 |
15430,14 |
84,8355 |
7197,062 |
11 |
4630 |
4580,009 |
49,99138 |
2499,138 |
-74,2267 |
5509,61 |
12 |
4693 |
4646,167 |
46,8329 |
2193,321 |
-3,15848 |
9,975996 |
13 |
5083 |
5025,938 |
57,06163 |
3256,029 |
10,22872 |
104,6268 |
14 |
5187 |
5178,564 |
8,436125 |
71,16821 |
-48,6255 |
2364,439 |
15 |
5198 |
5220,476 |
-22,4756 |
505,1535 |
-30,9117 |
955,536 |
16 |
5144 |
5260,542 |
-116,542 |
13582,06 |
-94,0665 |
8848,503 |
17 |
5518 |
5604,443 |
-86,4434 |
7472,457 |
30,09872 |
905,9332 |
18 |
5625 |
5711,423 |
-86,4229 |
7468,913 |
0,0205 |
0,00042 |
19 |
5707 |
5697,912 |
9,08838 |
82,59865 |
95,51126 |
9122,4 |
20 |
5902 |
5672,777 |
229,2229 |
52543,14 |
220,1345 |
48459,21 |
|
|
|
|
124846,6 |
|
96744,2 |
При k=1 и n=20 табличные значения и соответственно равны 1,2 и 1,41, следовательно, подтверждается гипотеза о положительной автокорреляции остатков.
Проверим ряд остатков на стационарность. Для этого рассчитаем коэффициенты автокорреляции (АКФ) по формулам, приведенным в пункте 3.2. В итоге получим:
Лаг |
Коэффициенты автокорреляции |
1 |
0,539695 |
2 |
0,039353 |
3 |
-0,3012 |
4 |
-0,5622 |
5 |
-0,47717 |
6 |
-0,47134 |
7 |
-0,28128 |
8 |
-0,20295 |
Так как с увеличением лага автокорреляционная функция не демонстрирует свойство монотонного убывания, можно сделать вывод о нестационарности ряда остатков.