6. Моделирование сезонных колебаний

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Ранее был сделан вывод об аддитивном характере сезонности в исходных данных на основе графического анализа.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y = T + S + E .

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты S .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и

получение выровненных данных (T + E ) в аддитивной.

4) Аналитическое выравнивание уровней (T + E ) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений (T + E).

6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней временного ряда методом скользящей средней.

№ квартала	t	y,руб.	Скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты x(i)
I	1	3374
II	2	3443
III	3	3434	3462,25	-28,25
IV	4	3437	3548,25	-111,25
I	5	3696	3649,625	46,375
II	6	3809	3776,25	32,75
III	7	3879	3935,5	-56,5
IV	8	4005	4128,375	-123,375
I	9	4402	4326,875	75,125
II	10	4646	4506,75	139,25
III	11	4630	4677,875	-47,875
IV	12	4693	4830,625	-137,625
I	13	5083	4969,25	113,75
II	14	5187	5096,625	90,375
III	15	5198	5207,375	-9,375
IV	16	5144	5316,5	-172,5
I	17	5518	5434,875	83,125
II	18	5625	5593,25	31,75
III	19	5707
IV	20	5902

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты x(i) как разность между фактическими уровнями ряда и скользящими средними (гр. 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

№ квартала	i	Средняя оценка сезонной компоненты х(i)	Скорректированные значения сезонной компоненты S(t)
I	1	79,59375	84,234375
II	2	73,53125	78,171875
III	3	-35,5	-30,85938
IV	4	-136,188	-131,5469
	∑	-18,5625	0

Корректирующий коэффициент: k=-18,5625/4=-4,64063.

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты

S(t)= х(i) − k.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

84,234375+78,171875-30,85938-131,5469= 0.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y – S (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

t	y,руб.	S(t)	T+E=Y-S	T	T+S
1	3374	84,23438	3289,766	3323,031	3407,265
2	3443	78,17188	3364,828	3384,009	3462,181
3	3434	-30,8594	3464,859	3466,573	3435,714
4	3437	-131,547	3568,547	3568,278	3436,731
5	3696	84,23438	3611,766	3686,681	3770,915
6	3809	78,17188	3730,828	3819,338	3897,51
7	3879	-30,8594	3909,859	3963,803	3932,944
8	4005	-131,547	4136,547	4117,633	3986,086
9	4402	84,23438	4317,766	4278,383	4362,617
10	4646	78,17188	4567,828	4443,61	4521,782
11	4630	-30,8594	4660,859	4610,868	4580,009
12	4693	-131,547	4824,547	4777,714	4646,167
13	5083	84,23438	4998,766	4941,704	5025,938
14	5187	78,17188	5108,828	5100,392	5178,564
15	5198	-30,8594	5228,859	5251,335	5220,476
16	5144	-131,547	5275,547	5392,089	5260,542
17	5518	84,23438	5433,766	5520,209	5604,443
18	5625	78,17188	5546,828	5633,251	5711,423
19	5707	-30,8594	5737,859	5728,771	5697,912
20	5902	-131,547	6033,547	5804,324	5672,777

Шаг 4. Трендовую компоненту мы определяли в пункте 3.5.:

Т=3286,08+26,12t+13,24t² – 0,407t³.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, ..., 20, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6).

Шаг 6. Проанализируем точность построенной модели. Для этого рассчитаем абсолютные и относительные ошибки и коэффициент детерминации.

t	y,руб.	Расчетные значения T+S	Абсолютная ошибка, руб.	Относительная ошибка, %	E2	(yt - y̅)2
1	3374	3407,265	-33,2654	-0,97631	1106,585	1360956
2	3443	3462,181	-19,1809	-0,55401	367,906	1204726
3	3434	3435,714	-1,71362	-0,04988	2,936494	1224564
4	3437	3436,731	0,2689	0,007824	0,072307	1217933
5	3696	3770,915	-74,9154	-1,98666	5612,313	713349,2
6	3809	3897,51	-88,5099	-2,27093	7833,998	535238,6
7	3879	3932,944	-53,9436	-1,37158	2909,914	437714,6
8	4005	3986,086	18,9139	0,474498	357,7356	286867,4
9	4402	4362,617	39,38263	0,902729	1550,991	19209,96
10	4646	4521,782	124,2181	2,747106	15430,14	11109,16
11	4630	4580,009	49,99138	1,091513	2499,138	7992,36
12	4693	4646,167	46,8329	1,00799	2193,321	23225,76
13	5083	5025,938	57,06163	1,135343	3256,029	294197,8
14	5187	5178,564	8,436125	0,162905	71,16821	417833
15	5198	5220,476	-22,4756	-0,43053	505,1535	432174,8
16	5144	5260,542	-116,542	-2,2154	13582,06	364091,6
17	5518	5604,443	-86,4434	-1,54241	7472,457	955310,8
18	5625	5711,423	-86,4229	-1,51316	7468,913	1175923
19	5707	5697,912	9,08838	0,159504	82,59865	1360489
20	5902	5672,777	229,2229	4,040753	52543,14	1853410

Средняя относительная ошибка по модулю составляет 0,05904, что свидетельствует о высокой точности модели.

Для оценки качества построенной модели также применим коэффициент детерминации:

.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 99% общей вариации уровней временного ряда величины прожиточного минимума по кварталам за 5 лет.