5. Выбор кривой роста. Подбор параметров уравнения регрессии

Вопрос о выборе кривой — основной при выравнивании ряда. Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I класса прежде всего следует выделить

класс полиномов:

, где а_i(i=0,1,2,3…р) - параметры многочлена

t- независимая переменная (время)

По графику исходных данных видно, что полиномиальные тренды второго и третьего порядка наиболее точно соответствуют тенденции исследуемого ряда. Рассчитаем коэффициенты моделей.

Для параболы параметры многочлена вычисляются по следующим формулам с помощью переноса начала координат в середину ряда динамики:

Так как у нас четное число членов ряда, то t=…; -5;-3; -1;1;3;5;... . Промежуточные вычисления представим в таблице:

t	y,руб.	yt	t2	yt2	t4
-19	3374	-64106	361	1218014	130321
-17	3443	-58531	289	995027	83521
-15	3434	-51510	225	772650	50625
-13	3437	-44681	169	580853	28561
-11	3696	-40656	121	447216	14641
-9	3809	-34281	81	308529	6561
-7	3879	-27153	49	190071	2401
-5	4005	-20025	25	100125	625
-3	4402	-13206	9	39618	81
-1	4646	-4646	1	4646	1
1	4630	4630	1	4630	1
3	4693	14079	9	42237	81
5	5083	25415	25	127075	625
7	5187	36309	49	254163	2401
9	5198	46782	81	421038	6561
11	5144	56584	121	622424	14641
13	5518	71734	169	932542	28561
15	5625	84375	225	1265625	50625
17	5707	97019	289	1649323	83521
19	5902	112138	361	2130622	130321
сумма	90812	190270	2660	12106428	634676
ср. знач.	4540,6		133

Получим:

а₀=4527,138; а₁=71,53008; а₂=0,101219.

Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

ŷ_t=4527,138+71,53008t+0,101219t².

Для нахождения параметров полинома третьей степени необходимо решить систему из 4х линейных уравнений:

Решение системы запишем в матричном виде:

.

В этом выражении:

матрица X имеет вид: X=

вектор-столбец фактических, значений: Y=

Отсюда, модель полиномы третьего порядка примет вид:

ŷ_t=3286,08+26,12t+13,24t² – 0,407t³.

Графический анализ свидетельствует о том, что значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, выровненные по полиномиальной модели третьего порядка, хотя прогнозное значение может быть несколько занижено.