3. Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Проведем сглаживание ряда методом скользящей средней трех- и пятичленной простой и с помощью полинома второй степени.

При трехчленной скользящей средней:

ŷ₂= и т.д.

При пятичленной скользящей средней:

ŷ₂= и т.д.

Для вычисления взвешенных скользящих средних воспользуемся следующими весовыми коэффициентами:

• Для трехчленной: 1;2;1.

• Для пятичленной: 1/35[-3;+12;+17].

Получим:

ŷ₂= 3423,5 и т.д.

ŷ₂= и т.д.

Результаты расчетов представим в таблице:

t	yt	Простые ск. ср.		Взвешенные ск. ср.
		L=3	L=5	L=3	L=5
1	3374
2	3443	3417		3423,5
3	3434	3438	3476,8	3437	3420,8
4	3437	3522,33333	3563,8	3501	3492,371
5	3696	3647,33333	3651	3659,5	3652,714
6	3809	3794,66667	3765,2	3798,25	3809,343
7	3879	3897,66667	3958,2	3893	3869,057
8	4005	4095,33333	4148,2	4072,75	4059,771
9	4402	4351	4312,4	4363,75	4374,829
10	4646	4559,33333	4475,2	4581	4607,771
11	4630	4656,33333	4690,8	4649,75	4637,8
12	4693	4802	4847,8	4774,75	4766,8
13	5083	4987,66667	4958,2	5011,5	5013,914
14	5187	5156	5061	5163,75	5201,143
15	5198	5176,33333	5226	5181,75	5158,143
16	5144	5286,66667	5334,4	5251	5245,829
17	5518	5429	5438,4	5451,25	5437,686
18	5625	5616,66667	5579,2	5618,75	5633,914
19	5707	5744,66667		5735,25	5777,057
20	5902				5865,486

Восстановим краевые значения для пятичленной взвешенной скользящей средней.

4. Проверка гипотезы о существовании тренда с помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий

Критерий «восходящих и нисходящих» серий состоит в проверке двух условий:

,

Где n – длина исходного ряда динамики, v(n) – число серий,

– максимальная длина серии.

Процесс формирования серий показан в следующей таблице:

t	y,руб.	Δ	i	δ
1	3374
2	3443	69	1	"+"
3	3434	-9	2	"-"
4	3437	3	3	"+"
5	3696	259	4	"+"
6	3809	113	5	"+"
7	3879	70	6	"+"
8	4005	126	7	"+"
9	4402	397	8	"+"
10	4646	244	9	"+"
11	4630	-16	10	"-"
12	4693	63	11	"+"
13	5083	390	12	"+"
14	5187	104	13	"+"
15	5198	11	14	"+"
16	5144	-54	15	"-"
17	5518	374	16	"+"
18	5625	107	17	"+"
19	5707	82	18	"+"
20	5902	195	19	"+"

Анализ полученной последовательности знаков позволил установить:

• число серий v(20) = 7,

• протяженность самой длинной серии .

Табличное значение .

Делаем проверку в соответствии с условиями:

• .

• .

Проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства не выполняются, а значит, подтверждается существование тренда.