Акф и стационарность временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Значения АКФ (автокорреляционных функций) характеризуют тесноту (степень) статистической связи между уровнями временного ряда, разделенными τ временными тактами.
На практике значения АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на τ шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
,
где n – длина временного ряда
τ – временной сдвиг
y̅
- оценка среднего значения, найденная
по формуле:
.
Рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка:
,
где
.
Составим вспомогательную таблицу:
t |
y,руб. |
y(t-1) |
|
|
(4)*(5) |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
3374 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3443 |
3374 |
-1159 |
-1094,947 |
1269044 |
1343281 |
1198908,933 |
3 |
3434 |
3443 |
-1168 |
-1025,947 |
1198306 |
1364224 |
1052567,247 |
4 |
3437 |
3434 |
-1165 |
-1034,947 |
1205713 |
1357225 |
1071115,293 |
5 |
3696 |
3437 |
-906 |
-1031,947 |
934944 |
820836 |
1064914,611 |
6 |
3809 |
3696 |
-793 |
-772,947 |
612947 |
628849 |
597447,0648 |
7 |
3879 |
3809 |
-723 |
-659,947 |
477141,7 |
522729 |
435530,0428 |
8 |
4005 |
3879 |
-597 |
-589,947 |
352198,4 |
356409 |
348037,4628 |
9 |
4402 |
4005 |
-200 |
-463,947 |
92789,4 |
40000 |
215246,8188 |
10 |
4646 |
4402 |
44 |
-66,947 |
-2945,67 |
1936 |
4481,900809 |
11 |
4630 |
4646 |
28 |
177,053 |
4957,484 |
784 |
31347,76481 |
12 |
4693 |
4630 |
91 |
161,053 |
14655,82 |
8281 |
25938,06881 |
13 |
5083 |
4693 |
481 |
224,053 |
107769,5 |
231361 |
50199,74681 |
14 |
5187 |
5083 |
585 |
614,053 |
359221 |
342225 |
377061,0868 |
15 |
5198 |
5187 |
596 |
718,053 |
427959,6 |
355216 |
515600,1108 |
16 |
5144 |
5198 |
542 |
729,053 |
395146,7 |
293764 |
531518,2768 |
17 |
5518 |
5144 |
916 |
675,053 |
618348,5 |
839056 |
455696,5528 |
18 |
5625 |
5518 |
1023 |
1049,053 |
1073181 |
1046529 |
1100512,197 |
19 |
5707 |
5625 |
1105 |
1156,053 |
1277439 |
1221025 |
1336458,539 |
20 |
5902 |
5707 |
1300 |
1238,053 |
1609469 |
1690000 |
1532775,231 |
сумма |
87438 |
84910 |
0 |
0,007 |
12028285 |
12463730 |
11945356,95 |
cред.зн. |
4602 |
4468,947 |
|
|
|
|
|
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не
на 20, а на 19, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Отсюда,
получаем
.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков:
Лаг |
Коэффициенты автокорреляции уровней |
1 |
0,98578 |
2 |
0,969857 |
3 |
0,969765 |
4 |
0,976347 |
5 |
0,952978 |
6 |
0,923639 |
7 |
0,931983 |
8 |
0,967945 |
9 |
0,937317 |
Коррелограмма:
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Так как с увеличением лага автокорреляционная функция не демонстрирует свойство монотонного убывания, можно сделать предварительный вывод о нестационарности временного ряда.