9 Закона ома и кирхгофа в комплексной форм

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд для электрических цепей с последовательным и параллельным соединением элементов R, L и C.

9.1 Последовательное соединение элементов R, L, C

Рассмотрим электрическую цепь, которая состоит из последовательно соединенных элементов R, L, C. Запишем согласно со вторым законом Кирхгофа уравнения для мгновенных значений падений напряжений: , или

. (9.1)

Если перейти к комплексно-временным функциям , и подставить их значения к уравнения (9.1), найдем выражение для комплексных амплитуд:

. (9.2)

С учетом выражений (8.1)-(8.3) получаем второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

. (9.3)

Если вынести за скобки значения , будем иметь

,

где  реактивное сопротивление цепи; R  активное сопротивление;

 комплексное сопротивление цепи.

С учетом введенных определений будем иметь уравнения

, , (9.4)

которые подают закон Ома в комплексной форме.

Комплексное сопротивление можно подать в тригонометричной и показательной формах:

, , (9.5)

где  модуль комплексного сопротивления (полное электрическое сопротивление цепи);  аргумент комплексного сопротивления;  активное сопротивление, которое равняется реальной части ;  реактивное сопротивление, которое равняется мнимой части .

Согласно с (9.4) комплексное сопротивление цепи  это комплексная величина, которая равняется части от деления комплексной амплитуды напряжения на зажимах двуполюсника на комплексный ток.:

,

где Z  полное сопротивление; - аргумент комплексного сопротивления.

Итак, полное сопротивление цепи (модуль ) устанавливает связь между амплитудами (действующими значениями) тока и напряжения, а аргумент комплексного сопротивления совпадает со сдвигом фаз между напряжением и током.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме с помощью векторной диаграммы.

Векторная диаграмма - изображение векторов на комплексной плоскости для одного и того же момента времени с соблюдением фазовых соотношений. Момент времени может быть любой, поскольку взаимная ориентация векторов не изменяется.

Рассмотрим векторные диаграммы для двух случаев.

1) , . Обозначим в уравнении (9.3)  напряжение на реактивном участке цепи. Напряжение на активном ребре совпадает по фазе с током , напряжение на индуктивности опережает ток на угол , а напряжение на емкости отстает от тока на угол (рис.9.1а). Итак, общее напряжение опережает ток по фазе на угол . Положительный фазовый сдвиг соответствует индуктивному характеру сопротивления цепи .

2) , (рис.9.1,б). В этом случае реактивное сопротивление цепи имеет емкостной характер ( ), ведь общее напряжение отстает по фазе от тока на угол . Отрицательный фазовый сдвиг соответствует емкостному характеру сопротивления .

а) б)

Рисунок 9.1

Вывод. Геометрическая сумма векторов , , дает вектор приложенного к цепи напряжения: . Прямоугольный треугольник, катетами которого есть i , а гипотенуза равняется , носит название треугольником напряжений.

Если все стороны-векторы этого треугольника поделить на вектор , получим треугольник ребер, подобный треугольнику напряжений и повернутый относительно последнего на угол по ходу часовой стрелки (рис.9.2). Треугольник ребер есть геометрической интерпретацией уравнения (9.5). Его положение не зависит от начальных фаз и ; активное сопротивление R откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении реальной оси, а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается по положительной (X > 0), или отрицательной мысленной оси (рис.9.2а,б).

а) б)

Рисунок 9.2

В треугольнике ребер угол отсчитывается от положительной действительной оси к вектору Z (как аргумент этого вектора) и совпадает с соответствующим значением сдвига фаз между напряжением и током (рис.9.1), который следует отсчитывать от вектора тока к вектору напряжения .

9.2 Параллельное соединение элементов R, L, C

Рассуждая аналогично, найдем комплексную форму законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, которая состоит из параллельно соединенных элементов R, L, C. Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений токов:

. (9.6)

Перейдем от мгновенных значений i, u к комплексно-временным функциям:

; .

Подставив эти значения к (9.6), получим уравнения для комплексных амплитуд:

. (9.7)

Учитывая, что ; ; , находим выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

. (9.8)

Если вынести в (9.7) значение за скобки, получим

,

где - реактивная проводимость цепи; G - активная проводимость цепи; - комплексная проводимость цепи.

Так же, как и формула (9.4), уравнения

, (9.9)

подают закон Ома в комплексной форме.

Итак, комплексная проводимость цепи - комплексная величина, которая равняется частице от деления комплексного тока на комплексное напряжение на зажимах пассивной электрической цепи. Комплексная проводимость может быть представленна в тригонометричной и показательной формах:

; , (9.10)

где  модуль комплексной проводимости или полная электрическая проводимость;  аргумент комплексной проводимости ;  активная проводимость (реальная часть комплексной проводимости);  реактивная проводимость (мнимая часть комплексной проводимости).

На основе (9.9) запишем: . Тогда

.

Итак, полная проводимость  это скалярная величина, которая равняется частице от деления действующего (амплитудного) значения тока в двуполюснике на действующее (амплитудное) значение напряжения на его зажимах. Аргумент комплексной проводимости с точностью к знаку обуславливает фазовый сдвиг в цепи.

Изобразим векторные диаграммы. На рис.9.3 представлена геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (9.8). Рис.9.3а соответствует варианту, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (B < 0), ток отстает по фазе от напряжения, а напряжение опережает ток по фазе на угол . Рис.9.3б соответствует случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостной характер (B > 0), напряжение отстает по фазе от тока на угол (ток опережает напряжение).

а) б)

Рисунок 9.3

Прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой носит название треугольника токов; и есть соответственно активной и реактивной составляющими тока .

Если все стороны этого треугольника поделить на вектор , то получим треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов и повернутый относительно последнего на угол по ходу часовой стрелки. Треугольник проводимостей есть геометрической интерпретацией выражения (9.10). Активная проводимость G откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении реальной оси, а реактивная проводимость B в зависимость от ее знака откладывается в отрицательном (B < 0) или в положительном (B > 0) направлении мнимой оси (рис.9.4а,б).

В треугольнике проводимостей угол отсчитывается от гипотенузы Y к катету G аналогично к треугольнику токов, где угол отсчитывается от к .

а) б)

Рисунок 9.4