8 Синусоидный ток в элементах электрической цепи

8.1 Синусоидный ток в ребре

Рассмотрим цепь с резистором, которая имеет активное сопротивление R. Пусть в цепи протекает ток . Тогда по закону Ома напряжение на зажимах резистора будет представлять:

.

Как видим, ; , т.е. напряжение и ток в цепи с активным сопротивлением сходятся по фазе. Кроме того, при прохождении синусоидного тока сквозь сопротивление не только мгновенные значения, но и амплитуды и действительные значения связаны по закону Ома:

; .

Подадим мгновенные значение напряжения и тока через комплексно-временные функции:

;

.

Подставим эти значения к выражению :

.

Если равны в любое время между собой реальные части, то равны и векторы: . Сократив на множитель , будем иметь

. (8.1)

Это уравнение является законом Ома в комплексной форме.

Запишем комплексные реальные значения тока и напряжения:

; .

На рис.8.1 изображены векторы , , , на комплексной плоскости.

Рисунок 8.1

Определим мгновенную мощность, которая тратится в ребре. При этом учтем, что .

.

Поскольку , получаем .

Зависимость мгновенных значений u, i, p от t (или ) показана на рис.8.2. Определим активную мощность P, которая равняется среднему за период значению мгновенной мощности:

.

Второй интеграл равняется нулю, поскольку на интервале времени, которое кратно периоду, положительные и отрицательные площади синусоидной функции одинаковые.

Рисунок 8.2

8.2 Синусоидный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность протекает ток . ЭДС самоиндукции определяется по формуле .

Поскольку , будем иметь

.

Это выражение разрешает сделать такие выводы:

1) ; , ведь напряжение опережает ток в индуктивности на угол ;

2) амплитуды, равно как и реальные значения напряжения и тока, связаны законом Ома: ; . Величина , которая измеряется в Омах, носит название индуктивного сопротивлением; обратная к ней величина носит название индуктивной проводимости. Тогда ; .

Мгновенная мощность энергии, которая поступает в индуктивность, представляет:

Очевидно, что активная мощность P = 0 (как среднее значение синусоидной функции на интервале времени T). Определим энергию магнитного поля в индуктивности:

.

(Замена переменных в пределах: при , ; при , ).

Итак, .

Зависимость мгновенных значений u, i, p, в индуктивности по времени изображена на рис.8.3. Проанализируем эти временные диаграммы: на протяжении первой четверти периода (отсчет от точки t*), когда ток в цепи увеличивается, имеет место заряд индуктивности, т.е. накопление энергии в магнитном поле за счет источника. Мгновенная мощность при этом положительная и достигает максимального значения .

Рисунок 8.3

В момент времени ( ) энергия, накопленная в магнитном поле, также достигает максимального значения . После этого в течение следующей четверти периода происходит уменьшение тока и мгновенной энергии, т.е. разряд индуктивности; мгновенная мощность в эти моменты отрицательная. Поскольку энергия в системе не тратится (P = 0), то уменьшение означает, что энергия возвращается к источнику. Далее процесс повторяется. Итак, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем активная мощность, которая поступает в индуктивность, равняется нулю.

Подадим мгновенные значение тока и напряжения через комплексно-временные функции: ; .

.

Из последнего выражения можно сделать такие выводы:

1) операция дифференцирования реальной функции времени за t эквивалентна умножению на величину комплексно-временной функции;

2) равность реальных частей между собой для любого t, возможна при условиях равности векторов: . Тогда из последнего уравнения получаем закон Ома в комплексной форме:

, (8.2)

где  комплексное сопротивление индуктивности.

Рассмотрим фазовые соотношения комплексных амплитуд тока и напряжения в индуктивности. Для этого запишем в показательной форме:

.

Это выражение подтверждает вывод относительно фазового сдвига между комплексными амплитудами и на угол (рис.8.4а). Напомним, что положительные фазовые углы отсчитывают от оси +1 против хода часовой стрелки. Фазовый сдвиг между напряжением и током отсчитываем от вектора до вектора .

а) б)

Рисунок 8.4

Найдем выражение для комплексной амплитуды тока, пользуясь соотношением: .

Сократив выражение на множитель , получаем еще одну запись закона Ома в комплексной форме:

,

где - комплексная проводимость индуктивности.

Укажем, что операция интегрирования реальной функции времени при переходе к комплексно-временной функции заменяется операцией деления на .

8.3 Синусоидный ток в емкости

Пусть через емкость протекает ток . Мгновенные значения тока и напряжения в емкости связаны соотношениеми:

; .

Анализ последнего выражения показывает:

1) ; , ведь напряжение в емкости отстает от тока по фазе на угол ;

2) амплитуды, равно как и реальные значения напряжения и тока, связаны законом Ома: ; . Величина , которая имеет размерность Ом, носит название емкостного сопротивления; обратная к ней величина носит название емкостной проводимости. Тогда ; .

Мгновенная мощность энергии, которая поступает в емкости, представляет:

Активная мощность P = 0, равно как и для индуктивности. Энергия электрического поля в емкости определяется по формуле:

;

.

Зависимость мгновенных значений u, i, p, в емкости по времени изображена на рис.8.5. Равно как и в индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем активная мощность равняется нулю.

Рисунок 8.5

Если перейти к комплексно-временным функциям ; и подать с их помощью мгновенные значения, можно найти выражения для комплексных амплитуд тока и напряжения:

; , (8.3)

где ;  комплексные сопротивление и проводимость емкости.

Полученное выражение  это закон Ома в комплексной форме для емкости. Чтобы рассмотреть фазовые соотношения, запишем и множитель -j в показательной форме:

.

Это выражение подтверждает вывод, что в емкости напряжение отстает по фазе от тока на угол (рис.8.4б).