11 Частотные характеристики электрических цепей. Последовательный резонансный контур
Анализ электрических цепей при синусоидном действии показывает, что амплитуды и начальные фазы напряжений и токов в цепи зависят не только от амплитуды и начальной фазы входного действия, но и от частоты колебаний. Чтобы найти реакцию электрической цепи на сигнал с изменяемой частотой, используют частотные характеристики электрических цепей, к которым принадлежат амплитудно-частотна (АЧХ) i фазо-частотная (ФЧХ) характеристики.
11.1 Комплексные передаточные функции электрических цепей
Для анализа частотных свойств электрических цепей используют комплексные передаточные функции. Чтобы дать определение передаточной функции, подадим электрическую цепь условно в виде дво- и четырехполюсника и дадим несколько определений.
Четырехполюсник - схема с двумя парами зажимов. Входная (выходная) величина - ток (напряжение) на зажимах, которые рассматриваются как вход (выход) цепи.
Итак, комплексная передаточная функция
электрической цепи
- отношение выходной величины к входной,
выраженное в комплексной форме:
,
(11.1)
где
комплексная
амплитуда выходной величины (отклика);
комплексная амплитуда входной величины
(действия).
Замечание. 1) в литературе употребляется также другое определение: комплексный коэффициент передачи; 2) в дальнейшем, находя , будем заменять отношение комплексных амплитуд (11.1) отношением комплексных действующих значений. Это не изменяет величины , но упрощает запись.
Если круг является четырехполюсником, то комплексные передаточные функции в зависимости от типа входной и выходной величины могут быть такие :
1. Если
, ,
,
то
-комплексный коэффициент передачи по
напряжению.
2. Если
, ,
,
то
- комплексный коэффициент передачи по
току.
3. Если
;
,
то
-комплексное передаточное сопротивление.
4. Если
;
,
то
- комплексная передаточная проводимость.
Если цепь является двуполюсником, комплексная передаточная функция приобретает содержание комплексной входной функции. Входная функция – сопротивление или проводимость цепи со стороны входа, выраженные в комплексной форме.
Если
; 
,
то
-комплексная
входная проводимость.
Если
; 
,
то
- комплексное входное сопротивление.
Комплексная передаточная функция может быть выраженна в показательной форме:
,
(11.2)
где
модуль комплексной
передаточной функции;
аргумент комплексной передаточной
функции.
Амплитудно-частотна характеристика (АЧХ) - зависимость от частоты модуля входной, выходной или передаточной комплексных функций цепи.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - зависимость от частоты аргумента входной, выходной или передаточной комплексных функций цепи.
При
графическом представлении частотных
характеристик электрической цепи, как
правило, изображают отдельно графики
АЧХ и ФЧХ. Но иногда АЧХ и ФЧХ подают в
виде одного графика. Это возможно
благодаря тому, что каждому значению
частоты соответствует некоторое значение
в виде комплексного числа или вектора
на комплексной плоскости. Со сменой
частоты
конец указанного вектора описывает
некоторую кривую (рис.11.1).
Рисунок 11.1
Кривая, которая соединяет концы векторов , носит название годографа передаточной функции (годографом амплитудно-фазовой характеристики). Годограф строят при изменении частоты от нуля к бесконечности.
Пример. Определить комплексный
коэффициент передачи по напряжению
,
АЧХ и ФЧХ для схемы (рис.11.2а).
Согласно с определением:
.
Задача решается в такой последовательности:
1) задаемся
;
2) определяем комплексное значение
выходного напряжения по закону Ома:
;
3) находим
;
4) подаем
в показательной форме, находим АЧХ и
ФЧХ (рис.11.2б,в):
.
а) б) в)
Рисунок 11.2
11.2 Последовательный резонансный контур. Определение и условия резонанса
Колебательный контур - электрический круг, в котором возможны колебание свободной составной тока. Резонансный контур - электрическая цепь, в которой имеет место явление резонанса (напряжений или токов).
Последовательный
резонансный контур
резонансный контур, который состоит из
индуктивного и емкостного элементов,
соединенных последовательно (рис.11.3а,б).
На схеме (рис.11.3в) R, L, C
первичные параметры контура, причем
,
где
активное сопротивление
катушки индуктивности,
сопротивление
растекания конденсатора, перерасчитанное
в последовательное соединение,
сопротивление
проводов (потерь). Чтобы дать определение
резонанса, найдем ток в цепи (рис.11.3в):
,
где реактивное сопротивление контура.
Запишем комплексное действующее значение тока в показательной форме
,
где
полное сопротивление
контура.
Итак, резонанс - это явление в электрической цепи, которая имеет участки с индуктивными и емкостными элементами, по которому разница фаз напряжения и тока на входе цепи равняется нулю.
Из этого определения вытекает, что полное сопротивление контура должно быть активным. Тогда реактивное сопротивление или проводимость цепи, в которой наблюдается резонанс, равняются нулю.
а) б) в)
Рисунок 11.3
Итак, если в общем случае действительны соотношения
; 
,
то при резонансе:
1)
это условие
амплитудного резонанса;
2)
;
;
условие возникновения
фазового резонанса.
11.3 Вторичные параметры последовательного резонансного контура
1. Резонансная частота - частота тока
(напряжения) во время резонанса в цепи.
Обозначается
и определяется, исходя из условия
резонанса X = 0;
:
; 
.
Значению
циклической частоты
соответствует резонансная длина волны:
, 
где c - скорость распространение электромагнитных волн.
2.
Характеристическое (волновое) сопротивление
контура сопротивление
каждого из реактивных элементов при
резонансе:
.
3. Добротность
отношение характеристического
сопротивления к активному сопротивлению
контура:
,
где d затухание
величина, обратная
к добротности, которая характеризует
интенсивность затухания колебаний в
контуре.
Добротность характеризует длительность собственных колебаний в контуре, ее можно определить также как коэффициент качества, который равняется отношению абсолютного значения реактивной мощности к активной мощности.
4. Полное сопротивление модуль входного комплексного сопротивления контура Z .
,
где модуль Z;
аргумент Z.
Частотные
зависимости полного и реактивного
сопротивления
,
изображены на рис.11.4. Из графика видно,
что на резонансной частоте реактивное
сопротивление контура равняется нулю,
а
равняется сопротивлению потерь R.
а) б)
Рисунок 11.4
5. Фазовая
характеристика
зависимость аргумента входного
сопротивления последовательного контура
от частоты (рис.11.5а):
.
6. Резонансная кривая тока - зависимость модуля комплексного действующего (амплитудного) значения тока от частоты (рис.11.5б):
.
Очевидно, что на частоте резонанса
,
выполняются такие соотношение:
, 
.
11.4 Векторная диаграмма напряжений при резонансе
Запишем для последовательного резонансного контура уравнения по второму закону Кирхгофа:
.
Если частота равняется резонансной частоте , то
,
где
напряжение на
сопротивлении R при резонансе;
напряжение на индуктивности при
резонансе;
напряжение на емкости при резонансе.
В соответствии с полученными выражениями на рис.11.5в изображена векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе. Как видно из рисунка, при выполняются такие соотношения:
1) напряжение на сопротивлении R
совпадает по фазе с током I, а
модуль
равняется значению E; напряжения на
реактивных элементах равны между собой
по модулю и противоположны по направлению;
2) по абсолютной величине напряжения на
реактивных элементах последовательного
резонансного контура в Q раз превышают
значение ЭДС, которая действует на
входе:
.
Итак, в последовательном контуре
наблюдается резонанс напряжений.
Резонанс напряжений - явление резонанса на участке электрической цепи, в которую входят последовательно соединенные индуктивный и емкостной элементы.
а) б) в)
Рисунок 11.5